Calcolo Esempi

$4 x^{3} - 9 x^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $4 x^{3} - 9 x^{4}$ come funzione.

$f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$12 x^{2} - 9 (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$12 x^{2} - 36 x^{3}$

Passaggio 2.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 36 x^{3} + 12 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 36 x^{3} + 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 36 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 36 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 36$ .

$- 108 x^{2} + \frac{d}{d x} [12 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 108 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 108 x^{2} + 12 (2 x)$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = - 108 x^{2} + 24 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 108 x^{2} + 24 x$ .

$- 108 x^{2} + 24 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 108 x^{2} + 24 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 108 x^{2} + 24 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $- 12 x$ da $- 108 x^{2} + 24 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 12 x$ da $- 108 x^{2}$ .

$- 12 x (9 x) + 24 x = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $- 12 x$ da $24 x$ .

$- 12 x (9 x) - 12 x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $- 12 x$ da $- 12 x (9 x) - 12 x (- 2)$ .

$- 12 x (9 x - 2) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$9 x - 2 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $9 x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $9 x - 2$ uguale a $0$ .

$9 x - 2 = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi $9 x - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 2$

Passaggio 3.5.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 2$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Passaggio 3.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{2}{9}$

Passaggio 3.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{2}{9}$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 12 x (9 x - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{2}{9}$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 9 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 9 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $\frac{2}{9}$ in $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{2}{9}$ nell'espressione.

$f (\frac{2}{9}) = 4 {(\frac{2}{9})}^{3} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{2^{3}}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{9^{3}}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Eleva $9$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{2}{9}) = 4 (\frac{8}{729}) - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $4 (\frac{8}{729})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.4.1

$4$ e $\frac{8}{729}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{4 \cdot 8}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 {(\frac{2}{9})}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{9}$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{2^{4}}{9^{4}}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 \frac{16}{9^{4}}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Eleva $9$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 9 (\frac{16}{6561})$

Passaggio 4.3.2.1.8

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.8.1

Scomponi $9$ da $- 9$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 (- 1) (\frac{16}{6561})$

Passaggio 4.3.2.1.8.2

Scomponi $9$ da $6561$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Passaggio 4.3.2.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} + 9 \cdot (- 1 \frac{16}{9 \cdot 729})$

Passaggio 4.3.2.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - 1 (\frac{16}{729})$

Passaggio 4.3.2.1.9

Riscrivi $- 1 (\frac{16}{729})$ come $- (\frac{16}{729})$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32}{729} - \frac{16}{729}$

Passaggio 4.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{2}{9}) = \frac{32 - 16}{729}$

Passaggio 4.3.2.2.2

Sottrai $16$ da $32$ .

$f (\frac{2}{9}) = \frac{16}{729}$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $\frac{16}{729}$ .

$\frac{16}{729}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $\frac{2}{9}$ in $f (x) = 4 x^{3} - 9 x^{4}$ è $(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{2}{9}) \cup (\frac{2}{9}, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.1$ nell'espressione.

$f'' (- 0.1) = - 108 {(- 0.1)}^{2} + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 0.1) = - 108 \cdot 0.01 + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 108$ per $0.01$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 + 24 (- 0.1)$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $24$ per $- 0.1$ .

$f'' (- 0.1) = - 1.08 - 2.4$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $2.4$ da $- 1.08$ .

$f'' (- 0.1) = - 3.48$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 3.48$ .

$- 3.48$

Passaggio 6.3

Per $- 0.1$ , la derivata seconda è $- 3.48$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, 0)$ .

Decrescente su $(- \infty, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \frac{2}{9})$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{1}$ nell'espressione.

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 {(0.\overline{1})}^{2} + 24 (0.\overline{1})$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.\overline{1}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 108 \cdot 0.01234567 + 24 (0.\overline{1})$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 108$ per $0.01234567$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 24 (0.\overline{1})$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $24$ per $0.\overline{1}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = - 1.33333333 + 2.\overline{6}$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 1.33333333$ e $2.\overline{6}$ .

$f'' (0.\overline{1}) = 1.33333333$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $1.33333333$ .

$1.33333333$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.\overline{1}$ , la derivata seconda è $1.33333333$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \frac{2}{9})$ .

Crescente su $(0, \frac{2}{9})$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(\frac{2}{9}, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.3\overline{2}$ nell'espressione.

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 {(0.3\overline{2})}^{2} + 24 (0.3\overline{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.3\overline{2}$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 108 \cdot 0.10382716 + 24 (0.3\overline{2})$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 108$ per $0.10382716$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 24 (0.3\overline{2})$

Passaggio 8.2.1.3

Moltiplica $24$ per $0.3\overline{2}$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 11.21333333 + 7.73333333$

Passaggio 8.2.2

Somma $- 11.21333333$ e $7.73333333$ .

$f'' (0.3\overline{2}) = - 3.48$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 3.48$ .

$- 3.48$

Passaggio 8.3

Per $0.3\overline{2}$ , la derivata seconda è $- 3.48$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(\frac{2}{9}, \infty)$ .

Decrescente su $(\frac{2}{9}, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$ .

$(0, 0), (\frac{2}{9}, \frac{16}{729})$

Passaggio 10