Calcolo Esempi

$y = \ln (\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$\frac{1}{\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Passaggio 2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}$ .

$1 \frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ per $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \frac{d}{d x} [\frac{9 + e^{x}}{9 - e^{x}}]$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente, che indica che $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 9 + e^{x}$ e $g (x) = 9 - e^{x}$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [9 + e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 + e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]) - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}] - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 6

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [9 - e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7

Differenzia.

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Passaggio 7.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $9 - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.2

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} - (9 + e^{x}) (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Moltiplica.

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Passaggio 7.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + 1 (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $9 + e^{x}$ per $1$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 8

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}} \cdot \frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{9 - e^{x}}{9 + e^{x}}$ per $\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{{(9 - e^{x})}^{2}}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}}$

Passaggio 10

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.1

Scomponi $9 - e^{x}$ da $(9 + e^{x}) {(9 - e^{x})}^{2}$ .

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

Passaggio 10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{(9 - e^{x}) ((9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x})}{(9 - e^{x}) ((9 + e^{x}) (9 - e^{x}))}$

Passaggio 10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(9 - e^{x}) e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + (9 + e^{x}) e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Passaggio 11.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.3.1

Combina i termini opposti in $9 e^{x} - e^{x} e^{x} + 9 e^{x} + e^{x} e^{x}$ .

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Passaggio 11.3.1.1

Somma $- e^{x} e^{x}$ e $e^{x} e^{x}$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x} + 0}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Passaggio 11.3.1.2

Somma $9 e^{x} + 9 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{9 e^{x} + 9 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$

Passaggio 11.3.2

Somma $9 e^{x}$ e $9 e^{x}$ .

$\frac{18 e^{x}}{(9 + e^{x}) (9 - e^{x})}$