Calcolo Esempi

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + x - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.3

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{1^{2} + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1 + 1 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1 + 1 - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.2.5.3

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 3 x + 2}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 3 x + lim_{x \to 1} 2}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 3 lim_{x \to 1} x + 2}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 3 \cdot 1 + 2}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{0}{1 - 3 \cdot 1 + 2}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$\frac{0}{1 - 3 + 2}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + x - 2}{x^{2} - 3 x + 2} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x + 2]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 1.3.9.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 3 + \frac{d}{d x} [2]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 3 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x - 3$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 1}{2 x - 3}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x + 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 3}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 2 x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 3}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 3}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} 2 x - 3}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x + 1}{lim_{x \to 1} 2 x - lim_{x \to 1} 3}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x + 1}{2 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 3}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $1$ .

$\frac{2 lim_{x \to 1} x + 1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{2 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 3}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 1}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.1.2

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3}{2 - 1 \cdot 3}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{3}{2 - 3}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3}{- 1}$

Passaggio 4.3

Dividi $3$ per $- 1$ .

$- 3$