Calcolo Esempi

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - 15 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.4

Sposta il termine $15$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.6

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1.1

Moltiplica $4$ per $4^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1.1.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4^{1 + 2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.1.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{64 - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.1.3

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$\frac{64 - 60 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{64 - 60 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.2

Sottrai $60$ da $64$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.2.7.3

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Passaggio 1.1.3.3

Sposta il termine $9$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 52}$

Passaggio 1.1.3.4

Calcola il limite di $52$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Passaggio 1.1.3.5

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Passaggio 1.1.3.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Passaggio 1.1.3.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.6.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{16 + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Passaggio 1.1.3.6.1.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 1 \cdot 52}$

Passaggio 1.1.3.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $52$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 52}$

Passaggio 1.1.3.6.2

Somma $16$ e $36$ .

$\frac{0}{52 - 52}$

Passaggio 1.1.3.6.3

Sottrai $52$ da $52$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.6.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.7

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{2} - 15 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $8 x - 15$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 9 x - 52$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Passaggio 1.3.9

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.9.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Passaggio 1.3.9.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Passaggio 1.3.9.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Passaggio 1.3.10

Poiché $- 52$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 52$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + 0}$

Passaggio 1.3.11

Somma $2 x + 9$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $8$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $15$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 9}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 9}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $9$ che è costante, mentre $x$ tende a $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $4$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $4$ per $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $8$ per $4$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$\frac{32 - 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $15$ da $32$ .

$\frac{17}{2 \cdot 4 + 9}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{17}{8 + 9}$

Passaggio 4.2.2

Somma $8$ e $9$ .

$\frac{17}{17}$

Passaggio 4.3

Dividi $17$ per $17$ .

$1$