Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{4} + 4 x^{3} - 48 x^{2} - 144 x + 288$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 144 x$ rispetto a $x$ è $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica $- 144$ per $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Poiché $288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $288$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Passaggio 1.6.2

Somma $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ e $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 96 x] + \frac{d}{d x} [- 144]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x + \frac{d}{d x} (- 96 x) + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 96 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 96$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 96 x$ rispetto a $x$ è $- 96 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 96$ per $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + \frac{d}{d x} (- 144)$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Poiché $- 144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96 + 0$

Passaggio 2.5.2

Somma $36 x^{2} + 24 x - 96$ e $0$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + 24 x - 96$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{4}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $3$ .

$12 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$12 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$12 x^{3} + 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 48 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 48$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} [- 144 x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.5

Calcola $\frac{d}{d x} [- 144 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 144 x$ rispetto a $x$ è $- 144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.5.3

Moltiplica $- 144$ per $1$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + \frac{d}{d x} [288]$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Poiché $288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $288$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 + 0$

Passaggio 4.1.6.2

Somma $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ e $0$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $12$ da $12 x^{3}$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} - 96 x - 144 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $12$ da $12 x^{2}$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) - 96 x - 144 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $12$ da $- 96 x$ .

$12 (x^{3}) + 12 (x^{2}) + 12 (- 8 x) - 144 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $12$ da $- 144$ .

$12 (x^{3}) + 12 x^{2} + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $12$ da $12 (x^{3}) + 12 x^{2}$ .

$12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 5.2.1.6

Scomponi $12$ da $12 (x^{3} + x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12 = 0$

Passaggio 5.2.1.7

Scomponi $12$ da $12 (x^{3} + x^{2} - 8 x) + 12 \cdot - 12$ .

$12 (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 5.2.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Passaggio 5.2.2.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.4

Somma $- 8$ e $4$ .

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.5

Moltiplica $- 8$ per $- 2$ .

$- 4 + 16 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.6

Somma $- 4$ e $16$ .

$12 - 12$

Passaggio 5.2.2.3.7

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 5.2.2.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

Passaggio 5.2.2.5

Dividi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

Passaggio 5.2.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

Passaggio 5.2.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

Passaggio 5.2.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 5.2.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

Passaggio 5.2.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.2.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 2 x$

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.2.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

Passaggio 5.2.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.2.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 6 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.2.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

Passaggio 5.2.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 6 x - 12$

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

Passaggio 5.2.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

Passaggio 5.2.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - x - 6$

Passaggio 5.2.2.6

Scrivi $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ come insieme di fattori.

$12 ((x + 2) (x^{2} - x - 6)) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1

Scomponi $x^{2} - x - 6$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 6$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 3, 2$

Passaggio 5.2.3.1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$12 ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))) = 0$

Passaggio 5.2.3.1.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 ((x + 2) (x - 3) (x + 2)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$12 (x + 2) (x - 3) (x + 2) = 0$

Passaggio 5.2.4

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Eleva $x + 2$ alla potenza di $1$ .

$12 ((x + 2) (x + 2)) (x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$12 {(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Passaggio 5.2.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta ${(x + 2)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi ${(x + 2)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 {(x + 2)}^{2} (x - 3) = 0$ vera.

$x = - 2, 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 2, 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(- 2)}^{2} + 24 (- 2) - 96$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$36 \cdot 4 + 24 (- 2) - 96$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $36$ per $4$ .

$144 + 24 (- 2) - 96$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $24$ per $- 2$ .

$144 - 48 - 96$

Passaggio 9.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $48$ da $144$ .

$96 - 96$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $96$ da $96$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 3) \cup (3, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dell'intervallo $(- \infty, - 2)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 12 {(- 4)}^{3} + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = 12 \cdot - 64 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $12$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 {(- 4)}^{2} - 96 \cdot - 4 - 144$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 768 + 12 \cdot 16 - 96 \cdot - 4 - 144$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $12$ per $16$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 - 96 \cdot - 4 - 144$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $- 96$ per $- 4$ .

$f' (- 4) = - 768 + 192 + 384 - 144$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Somma $- 768$ e $192$ .

$f' (- 4) = - 576 + 384 - 144$

Passaggio 10.2.2.2.2

Somma $- 576$ e $384$ .

$f' (- 4) = - 192 - 144$

Passaggio 10.2.2.2.3

Sottrai $144$ da $- 192$ .

$f' (- 4) = - 336$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 336$ .

$- 336$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dell'intervallo $(- 2, 3)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 12 {(0)}^{3} + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 12 \cdot 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 {(0)}^{2} - 96 \cdot 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 0 + 12 \cdot 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 96 \cdot 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.1.5

Moltiplica $- 96$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 - 144$

Passaggio 10.3.2.2.3

Sottrai $144$ da $0$ .

$f' (0) = - 144$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 144$ .

$- 144$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dell'intervallo $(3, \infty)$ nella derivata prima $12 x^{3} + 12 x^{2} - 96 x - 144$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 12 {(6)}^{3} + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = 12 \cdot 216 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $12$ per $216$ .

$f' (6) = 2592 + 12 {(6)}^{2} - 96 \cdot 6 - 144$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 2592 + 12 \cdot 36 - 96 \cdot 6 - 144$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $12$ per $36$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 96 \cdot 6 - 144$

Passaggio 10.4.2.1.5

Moltiplica $- 96$ per $6$ .

$f' (6) = 2592 + 432 - 576 - 144$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Somma $2592$ e $432$ .

$f' (6) = 3024 - 576 - 144$

Passaggio 10.4.2.2.2

Sottrai $576$ da $3024$ .

$f' (6) = 2448 - 144$

Passaggio 10.4.2.2.3

Sottrai $144$ da $2448$ .

$f' (6) = 2304$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $2304$ .

$2304$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = - 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 3$ , allora $x = 3$ è un minimo locale.

$x = 3$ è un minimo locale

Passaggio 11