Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.9

$3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ come ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.2

$\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Passaggio 2.2.11

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.3

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.16

$- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.2.17

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.3

Sottrai $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ da $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{\frac{2}{3}}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Passaggio 4.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Passaggio 4.1.3.9

$3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 4.1.3.11

Sposta $x^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.12

Scomponi $3$ da $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.13

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.13.1

Scomponi $3$ da $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 4.1.3.13.2

Elimina il fattore comune.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.1.3.13.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $x^{\frac{1}{3}}$ ciascun termine in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Dividi $x^{\frac{1}{3}}$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividi $2$ per $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Passaggio 5.5.3

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $3$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.4.1.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.4.1.1.2

Semplifica.

$x = {(- 1)}^{3}$

Passaggio 5.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$x = - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$x^{1} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$x = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 9.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

Passaggio 9.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Passaggio 9.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Passaggio 10

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 11.2.1.3

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3$

Passaggio 11.2.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$f (- 1) = 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Passaggio 13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 13.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$- \frac{2}{0}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.2.2

La risposta finale è $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dall'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.3.2

La risposta finale è $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.1

Sposta ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 14.4.2.1.2

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{- \frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 14.4.2.1.2.4

Sottrai $1$ da $3$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 14.4.2.2

La risposta finale è $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 14.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un massimo locale.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 14.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = - 1$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 15