Calcolo Esempi

$f (x) = 2 \cos (x - π)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (x - π)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x - π)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - π$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x - π])$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [x - π])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - π$ .

$2 (- \sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (\sin (x - π) \frac{d}{d x} [x - π])$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$- 2 \sin (x - π) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + \frac{d}{d x} [- π])$

Passaggio 1.3.4

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 \sin (x - π) (1 + 0)$

Passaggio 1.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$- 2 \sin (x - π) \cdot 1$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 \sin (x - π)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (x - π)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x - π)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x - π)$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (x - π))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (x - π))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - π$ .

$f'' (x) = - 2 (\cos (x - π) \frac{d}{d x} (x - π))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + \frac{d}{d x} (- π))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $- π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π) \cdot 1$

Passaggio 2.3.4.2

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x - π)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 \sin (x - π) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x - π) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (x - π) = 0$ .

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (x - π)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\sin (x - π)$ per $1$ .

$\sin (x - π) = \frac{0}{- 2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 2$ .

$\sin (x - π) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x - π = \arcsin (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x - π = 0$

Passaggio 7

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = π$

Passaggio 8

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x - π = π - 0$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sottrai $0$ da $π$ .

$x - π = π$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $π$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = π + π$

Passaggio 9.2.2

Somma $π$ e $π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x - π = 0$ .

$x = π, 2 π$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos ((π) - π)$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sottrai $π$ da $π$ .

$- 2 \cos (0)$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 13

$x = π$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = 2 \cos ((π) - π)$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (π) = 2 \cos (0)$

Passaggio 14.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = 2 \cdot 1$

Passaggio 14.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (π) = 2$

Passaggio 14.2.4

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = 2 π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2 \cos ((2 π) - π)$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$- 2 \cos (π)$

Passaggio 16.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 2 (- \cos (0))$

Passaggio 16.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.4

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 2 \cdot - 1$

Passaggio 16.4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2$

Passaggio 17

$x = 2 π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2 π$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = 2 π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2 π$ nell'espressione.

$f (2 π) = 2 \cos ((2 π) - π)$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$f (2 π) = 2 \cos (π)$

Passaggio 18.2.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (2 π) = 2 (- \cos (0))$

Passaggio 18.2.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (2 π) = 2 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 18.2.4

Moltiplica $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (2 π) = 2 \cdot - 1$

Passaggio 18.2.4.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (2 π) = - 2$

Passaggio 18.2.5

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 \cos (x - π)$ .

$(π, 2)$ è un massimo locale

$(2 π, - 2)$ è un minimo locale

Passaggio 20