Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x - \frac{256}{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - \frac{256}{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

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Passaggio 1.3.1

Poiché $- 256$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{256}{x}$ rispetto a $x$ è $- 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$2 - 256 (- x^{- 2})$

Passaggio 1.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 256$ .

$2 + 256 x^{- 2}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 256 \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

$256$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{256}{x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$\frac{256}{x^{2}} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{256}{x^{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{256}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $256$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{256}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 256 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $256$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 512 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 2.4.2.1

$- 512$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 512}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}} + 0$

Passaggio 2.4.2.3

Somma $- \frac{512}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{256}{x^{2}} + 2 = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6