Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 11 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11 x$ rispetto a $x$ è $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 2 x - 11$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 11]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + \frac{d}{d x} (- 11)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (- 11 x)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 11$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 11 x$ rispetto a $x$ è $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 11$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 2 x - 11$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 2 x - 11$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 2 x - 11 = 0$

Passaggio 5.2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.3

Sostituisci i valori $a = 6$ , $b = 2$ e $c = - 11$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 11)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.3

Somma $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.4

Riscrivi $268$ come $2^{2} \cdot 67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.3

Somma $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.4

Riscrivi $268$ come $2^{2} \cdot 67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.5.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.5.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.5.6

Scomponi $- 1$ da $\sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 1 (- \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 5.5.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 5.5.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 6 \cdot - 11$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 11}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.2.2

Moltiplica $- 24$ per $- 11$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 264}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.3

Somma $4$ e $264$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{268}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.4

Riscrivi $268$ come $2^{2} \cdot 67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.4.1

Scomponi $4$ da $268$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (67)}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{2 \cdot 6}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{67}}{12}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.6.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.6.5

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.6.6

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{67}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (\sqrt{67})}{6}$

Passaggio 5.6.7

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - (\sqrt{67})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 5.6.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 5.7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ nel numeratore.

$12 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 - \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 9.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (1 - \sqrt{67})) + 2$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (1 - \sqrt{67}) + 2$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2 (- \sqrt{67}) + 2$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$- 2 + 2 \sqrt{67} + 2$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0 + 2 \sqrt{67}$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $2 \sqrt{67}$ .

$2 \sqrt{67}$

Passaggio 10

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $216$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 - \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.5

Usa il teorema binomiale.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 (- \sqrt{67})) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 (- \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.4

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {(- \sqrt{67})}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(- \sqrt{67})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.6

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.8

Moltiplica ${\sqrt{67}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9

Riscrivi ${\sqrt{67}}^{2}$ come $67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{67}$ come $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.9.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.9.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.10

Moltiplica $3$ per $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- \sqrt{67})}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.11

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.13

Riscrivi ${\sqrt{67}}^{3}$ come $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.14

Eleva $67$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.15

Riscrivi $300763$ come $67^{2} \cdot 67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.15.1

Scomponi $4489$ da $300763$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.15.2

Riscrivi $4489$ come $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.16

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - (67 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.6.17

Moltiplica $67$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 - 3 \sqrt{67} + 201 - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.7

Somma $1$ e $201$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 3 \sqrt{67} - 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.8

Sottrai $67 \sqrt{67}$ da $- 3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 - 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.9

Elimina il fattore comune di $202 - 70 \sqrt{67}$ e $108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.9.1

Scomponi $2$ da $- (202 - 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $108$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 - 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.11.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 - \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.13

Moltiplica $\frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.14

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 - \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.15

Riscrivi ${(1 - \sqrt{67})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.16

Espandi $(1 - \sqrt{67}) (1 - \sqrt{67})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 - \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} (1 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 (- \sqrt{67}) - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.2

Moltiplica $- \sqrt{67}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} \cdot 1 - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} - \sqrt{67} (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4

Moltiplica $- \sqrt{67} (- \sqrt{67})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 1 \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{67}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4.3

Eleva $\sqrt{67}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4.4

Eleva $\sqrt{67}$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{1 + 1}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {\sqrt{67}}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5

Riscrivi ${\sqrt{67}}^{2}$ come $67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{67}$ come $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + {(67^{\frac{1}{2}})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.17.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67^{\frac{2}{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 - \sqrt{67} - \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.2

Somma $1$ e $67$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - \sqrt{67} - \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.17.3

Sottrai $\sqrt{67}$ da $- \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18

Elimina il fattore comune di $68 - 2 \sqrt{67}$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.18.1

Scomponi $2$ da $68$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) - 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34) + 2 (- \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18.3

Scomponi $2$ da $2 (34) + 2 (- \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.18.4.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 (34 - \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.18.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.19

Moltiplica $- 11 (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.19.1

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 - \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 11.2.1.19.2

$11$ e $\frac{1 - \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 - \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{34 - \sqrt{67}}{18}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{11 (1 - \sqrt{67})}{6}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 11.2.2.5

Riordina i fattori di $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $3$ per $18$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 - 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 - \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 - 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $101$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (- 35 \sqrt{67}) + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.3

Moltiplica $- 35$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + (34 - \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.5

Moltiplica $34$ per $3$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 (1 - \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.8

Moltiplica $11$ per $1$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 + 11 (- \sqrt{67})) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.9

Moltiplica $- 1$ per $11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + (11 - 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.10

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.11

Moltiplica $11$ per $9$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Passaggio 11.2.4.12

Moltiplica $9$ per $- 11$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 + 35 \sqrt{67} + 102 - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Somma $- 101$ e $102$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} + 99 - 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $1$ e $99$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 35 \sqrt{67} - 3 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 11.2.5.3

Sottrai $3 \sqrt{67}$ da $35 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 32 \sqrt{67} - 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 11.2.5.4

Sottrai $99 \sqrt{67}$ da $32 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ nel numeratore.

$12 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 13.1.1.2

Scomponi $6$ da $12$ .

$6 (2) \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 13.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$6 \cdot 2 \frac{- (1 + \sqrt{67})}{6} + 2$

Passaggio 13.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (- (1 + \sqrt{67})) + 2$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 (1 + \sqrt{67}) + 2$

Passaggio 13.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 2 \cdot 1 - 2 \sqrt{67} + 2$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$- 2 - 2 \sqrt{67} + 2$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$0 - 2 \sqrt{67}$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $2 \sqrt{67}$ da $0$ .

$- 2 \sqrt{67}$

Passaggio 14

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{3}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}})) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{6^{3}}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{216}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $216$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 (108)}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = 2 (\frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{2 \cdot 108}) + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- {(1 + \sqrt{67})}^{3}}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.5

Usa il teorema binomiale.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1^{3} + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1^{2} \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \cdot (1 \sqrt{67}) + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot (1 {\sqrt{67}}^{2}) + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {\sqrt{67}}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5

Riscrivi ${\sqrt{67}}^{2}$ come $67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{67}$ come $67^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 {(67^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.5.5

Calcola l'esponente.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 3 \cdot 67 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.6

Moltiplica $3$ per $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + {\sqrt{67}}^{3})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.7

Riscrivi ${\sqrt{67}}^{3}$ come $\sqrt{67^{3}}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{3}})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.8

Eleva $67$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{300763})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.9

Riscrivi $300763$ come $67^{2} \cdot 67$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.9.1

Scomponi $4489$ da $300763$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{4489 (67)})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.9.2

Riscrivi $4489$ come $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + \sqrt{67^{2} \cdot 67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.6.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (1 + 3 \sqrt{67} + 201 + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.7

Somma $1$ e $201$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 3 \sqrt{67} + 67 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.8

Somma $3 \sqrt{67}$ e $67 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (202 + 70 \sqrt{67})}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.9

Elimina il fattore comune di $202 + 70 \sqrt{67}$ e $108$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.1

Scomponi $2$ da $- (202 + 70 \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{108} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.9.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.9.2.1

Scomponi $2$ da $108$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 (54)} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{2 (- (101 + 35 \sqrt{67}))}{2 \cdot 54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67})}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.11.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1 + \sqrt{67}}{6})}^{2} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.11.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + {(- 1)}^{2} (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.12

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + 1 (\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}) - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.13

Moltiplica $\frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{6^{2}} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.14

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{{(1 + \sqrt{67})}^{2}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.15

Riscrivi ${(1 + \sqrt{67})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.16

Espandi $(1 + \sqrt{67}) (1 + \sqrt{67})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 (1 + \sqrt{67}) + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.16.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} (1 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.16.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.17.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + 1 \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.2

Moltiplica $\sqrt{67}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} \cdot 1 + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.3

Moltiplica $\sqrt{67}$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67} \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67 \cdot 67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.5

Moltiplica $67$ per $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{4489}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.6

Riscrivi $4489$ come $67^{2}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + \sqrt{67^{2}}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{1 + \sqrt{67} + \sqrt{67} + 67}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.2

Somma $1$ e $67$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + \sqrt{67} + \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.17.3

Somma $\sqrt{67}$ e $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{68 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18

Elimina il fattore comune di $68 + 2 \sqrt{67}$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.18.1

Scomponi $2$ da $68$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 \sqrt{67}}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 34 + 2 (\sqrt{67})$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{36} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.18.4.1

Scomponi $2$ da $36$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 (18)} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{2 \cdot (34 + \sqrt{67})}{2 \cdot 18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.18.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} - 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.19

Moltiplica $- 11 (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.19.1

Moltiplica $- 1$ per $- 11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + 11 (\frac{1 + \sqrt{67}}{6})$

Passaggio 15.2.1.19.2

$11$ e $\frac{1 + \sqrt{67}}{6}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{34 + \sqrt{67}}{18} \cdot \frac{3}{3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{34 + \sqrt{67}}{18}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$

Passaggio 15.2.2.3

Moltiplica $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6} \cdot \frac{9}{9}$

Passaggio 15.2.2.4

Moltiplica $\frac{11 (1 + \sqrt{67})}{6}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{18 \cdot 3} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 15.2.2.5

Riordina i fattori di $18 \cdot 3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{3 \cdot 18} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 15.2.2.6

Moltiplica $3$ per $18$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{6 \cdot 9}$

Passaggio 15.2.2.7

Moltiplica $6$ per $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = - \frac{101 + 35 \sqrt{67}}{54} + \frac{(34 + \sqrt{67}) \cdot 3}{54} + \frac{11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- (101 + 35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 1 \cdot 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $101$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - (35 \sqrt{67}) + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.3

Moltiplica $35$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + (34 + \sqrt{67}) \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 34 \cdot 3 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.5

Moltiplica $34$ per $3$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + \sqrt{67} \cdot 3 + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \cdot \sqrt{67} + 11 (1 + \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 \cdot 1 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.8

Moltiplica $11$ per $1$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + (11 + 11 \sqrt{67}) \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.9

Applica la proprietà distributiva.

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 11 \cdot 9 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.10

Moltiplica $11$ per $9$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 11 \sqrt{67} \cdot 9}{54}$

Passaggio 15.2.4.11

Moltiplica $9$ per $11$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{- 101 - 35 \sqrt{67} + 102 + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Somma $- 101$ e $102$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{1 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 + 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $1$ e $99$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 35 \sqrt{67} + 3 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 15.2.5.3

Somma $- 35 \sqrt{67}$ e $3 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 - 32 \sqrt{67} + 99 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 15.2.5.4

Somma $- 32 \sqrt{67}$ e $99 \sqrt{67}$ .

$f (- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}) = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$ .

$y = \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 11 x$ .

$(- \frac{1 - \sqrt{67}}{6}, \frac{100 - 67 \sqrt{67}}{54})$ è un minimo locale

$(- \frac{1 + \sqrt{67}}{6}, \frac{100 + 67 \sqrt{67}}{54})$ è un massimo locale

Passaggio 17