Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 30 x + 24$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 30$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x - 30$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x + 24 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $6$ da $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) + 24 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $6$ da $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 5 x + 4$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $4$ e la cui somma è $- 5$ .

$- 4, - 1$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$6 ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 4) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 4) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 4, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 4, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (4) - 30$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 - 30$

Passaggio 9.2

Sottrai $30$ da $48$ .

$18$

Passaggio 10

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = 2 {(4)}^{3} - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = 2 \cdot 64 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $64$ .

$f (4) = 128 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = 128 - 15 \cdot 16 + 24 (4)$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $16$ .

$f (4) = 128 - 240 + 24 (4)$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $24$ per $4$ .

$f (4) = 128 - 240 + 96$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $240$ da $128$ .

$f (4) = - 112 + 96$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 112$ e $96$ .

$f (4) = - 16$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 16$ .

$y = - 16$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (1) - 30$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $12$ per $1$ .

$12 - 30$

Passaggio 13.2

Sottrai $30$ da $12$ .

$- 18$

Passaggio 14

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 - 15 \cdot 1 + 24 (1)$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 15$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24 (1)$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $24$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $15$ da $2$ .

$f (1) = - 13 + 24$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 13$ e $24$ .

$f (1) = 11$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $11$ .

$y = 11$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ .

$(4, - 16)$ è un minimo locale

$(1, 11)$ è un massimo locale

Passaggio 17