Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 288 x - 6$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 6 x^{2} - 288 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 288 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 288 x$ rispetto a $x$ è $- 288 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $- 288$ per $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $6 x^{2} + 12 x - 288$ e $0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} + 12 x - 288$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 288]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 288)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 288$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 12 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $12 x + 12$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x + 12$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} + 12 x - 288 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} + 6 x^{2} - 288 x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 288 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 288 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 288$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 288 x$ rispetto a $x$ è $- 288 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $- 288$ per $1$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 + \frac{d}{d x} [- 6]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $6 x^{2} + 12 x - 288$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 12 x - 288$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} + 12 x - 288$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} + 12 x - 288 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x - 288 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 12 x - 288$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $6$ da $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 12 x - 288 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $6$ da $12 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (2 x) - 288 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $6$ da $- 288$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x) + 6 \cdot - 48 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $6$ da $6 x^{2} + 6 (2 x)$ .

$6 (x^{2} + 2 x) + 6 \cdot - 48 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $6$ da $6 (x^{2} + 2 x) + 6 \cdot - 48$ .

$6 (x^{2} + 2 x - 48) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 48$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 48$ e la cui somma è $2$ .

$- 6, 8$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 ((x - 6) (x + 8)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 (x - 6) (x + 8) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 8 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 5.4.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 8$ uguale a $0$ .

$x + 8 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 8$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 (x - 6) (x + 8) = 0$ vera.

$x = 6, - 8$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 6, - 8$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 6$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (6) + 12$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $6$ .

$72 + 12$

Passaggio 9.2

Somma $72$ e $12$ .

$84$

Passaggio 10

$x = 6$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 6$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f (6) = 2 {(6)}^{3} + 6 {(6)}^{2} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (6) = 2 \cdot 216 + 6 {(6)}^{2} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $216$ .

$f (6) = 432 + 6 {(6)}^{2} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $6$ per ${(6)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Moltiplica $6$ per ${(6)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $1$ .

$f (6) = 432 + 6 {(6)}^{2} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (6) = 432 + 6^{1 + 2} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (6) = 432 + 6^{3} - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f (6) = 432 + 216 - 288 \cdot 6 - 6$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $- 288$ per $6$ .

$f (6) = 432 + 216 - 1728 - 6$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $432$ e $216$ .

$f (6) = 648 - 1728 - 6$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $1728$ da $648$ .

$f (6) = - 1080 - 6$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $6$ da $- 1080$ .

$f (6) = - 1086$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 1086$ .

$y = - 1086$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (- 8) + 12$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $12$ per $- 8$ .

$- 96 + 12$

Passaggio 13.2

Somma $- 96$ e $12$ .

$- 84$

Passaggio 14

$x = - 8$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 8$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8$ nell'espressione.

$f (- 8) = 2 {(- 8)}^{3} + 6 {(- 8)}^{2} - 288 \cdot - 8 - 6$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $3$ .

$f (- 8) = 2 \cdot - 512 + 6 {(- 8)}^{2} - 288 \cdot - 8 - 6$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $2$ per $- 512$ .

$f (- 8) = - 1024 + 6 {(- 8)}^{2} - 288 \cdot - 8 - 6$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$f (- 8) = - 1024 + 6 \cdot 64 - 288 \cdot - 8 - 6$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $6$ per $64$ .

$f (- 8) = - 1024 + 384 - 288 \cdot - 8 - 6$

Passaggio 15.2.1.5

Moltiplica $- 288$ per $- 8$ .

$f (- 8) = - 1024 + 384 + 2304 - 6$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 1024$ e $384$ .

$f (- 8) = - 640 + 2304 - 6$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 640$ e $2304$ .

$f (- 8) = 1664 - 6$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $6$ da $1664$ .

$f (- 8) = 1658$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $1658$ .

$y = 1658$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 288 x - 6$ .

$(6, - 1086)$ è un minimo locale

$(- 8, 1658)$ è un massimo locale

Passaggio 17