Calcolo Esempi

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $6 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{2} - 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{2}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $6 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{2} - 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $2 x$ da $6 x^{2} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x$ da $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) - 8 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $2 x$ da $- 8 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (- 4) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $2 x$ da $2 x (3 x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (3 x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $3 x - 4$ uguale a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $3 x - 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 4$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x (3 x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (0) - 8$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 - 8$

Passaggio 9.2

Sottrai $8$ da $0$ .

$- 8$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$12 (\frac{4}{3}) - 8$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$3 (4) \frac{4}{3} - 8$

Passaggio 13.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 4 \frac{4}{3} - 8$

Passaggio 13.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \cdot 4 - 8$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 - 8$

Passaggio 13.2

Sottrai $8$ da $16$ .

$8$

Passaggio 14

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = 2 {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{27}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $2 (\frac{64}{27})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

$2$ e $\frac{64}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Passaggio 15.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 2$

Passaggio 15.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} + 2$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 (\frac{16}{9}) + 2$

Passaggio 15.2.1.8

Moltiplica $- 4 (\frac{16}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

$- 4$ e $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} + 2$

Passaggio 15.2.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 64}{9} + 2$

Passaggio 15.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 2$

Passaggio 15.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Moltiplica $\frac{64}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{64}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2$

Passaggio 15.2.2.3

Scrivi $2$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Passaggio 15.2.2.4

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 15.2.2.5

Moltiplica $\frac{2}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.2.6

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.2.7

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 64 \cdot 3 + 2 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.4.1

Moltiplica $- 64$ per $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 2 \cdot 27}{27}$

Passaggio 15.2.4.2

Moltiplica $2$ per $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 54}{27}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Sottrai $192$ da $128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 54}{27}$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $- 64$ e $54$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Passaggio 15.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{27}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $- \frac{10}{27}$ .

$y = - \frac{10}{27}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ è un massimo locale

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})$ è un minimo locale

Passaggio 17