Calcolo Esempi

$f (x) = 3 x e^{x} + 2$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 1.4.3

Riordina i termini.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 1.4.4

Riordina i fattori in $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 3 e^{x} x + 6 e^{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $3 e^{x} x + 6 e^{x}$ .

$f'' (x) = 3 x e^{x} + 6 e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x e^{x} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 4.1.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 (x e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 (x e^{x}) + 3 e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4.1.4.3

Riordina i termini.

$3 e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 4.1.4.4

Riordina i fattori in $3 e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = 3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 x e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x}$ .

$3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $3 e^{x}$ da $3 e^{x} (x) + 3 e^{x} (1)$ .

$3 e^{x} (x + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 e^{x} (x + 1) = 0$ vera.

$x = - 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$3 (- 1) e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 e^{- 1} + 6 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{e} + 6 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.3

$- 3$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{- 3}{e} + 6 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{e} + 6 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{3}{e} + 6 \frac{1}{e}$

Passaggio 9.1.6

$6$ e $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{3}{e} + \frac{6}{e}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 3 + 6}{e}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 3$ e $6$ .

$\frac{3}{e}$

Passaggio 10

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 3 (- 1) \cdot e^{- 1} + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot e^{- 1} + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 3 \cdot \frac{1}{e} + 2$

Passaggio 11.2.1.3

$- 3$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = \frac{- 3}{e} + 2$

Passaggio 11.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 1) = - \frac{3}{e} + 2$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $- \frac{3}{e} + 2$ .

$y = - \frac{3}{e} + 2$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 3 x e^{x} + 2$ .

$(- 1, - \frac{3}{e} + 2)$ è un minimo locale

Passaggio 13