Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{3}{5}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.8

$\frac{3}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$4 \frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.9

$4$ e $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$\frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Passaggio 1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Passaggio 1.3.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $\frac{12}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{12}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{5}}}$ come ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{2}{5}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{\frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- {(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2}{5} \cdot - 2} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $\frac{2}{5} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.2.1

$\frac{2}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{\frac{- 4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{2 - 5}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.9.2

Sottrai $5$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{\frac{- 3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} (\frac{2}{5} x^{- \frac{3}{5}})) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.11

$\frac{2}{5}$ e $x^{- \frac{3}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- x^{- \frac{4}{5}} \frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.12

$\frac{2 x^{- \frac{3}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{3}{5}} x^{- \frac{4}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.13

Moltiplica $x^{- \frac{3}{5}}$ per $x^{- \frac{4}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{3}{5}})}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.13.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{4}{5} - \frac{3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 3}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.13.4

Sottrai $3$ da $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{\frac{- 7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2 x^{- \frac{7}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.14

Sposta $x^{- \frac{7}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{12}{5} \cdot (- \frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}) + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.15

Moltiplica $\frac{12}{5}$ per $\frac{2}{5 x^{\frac{7}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{12 \cdot 2}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.16

Moltiplica $12$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{5 (5 x^{\frac{7}{5}})} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.2.17

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{d}{d x} (- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- \frac{4}{5}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{1}{5}}}$ come ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 1}$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{5}}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{\frac{1}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{5}})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- {(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{1}{5} \cdot - 2} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.2

$\frac{1}{5}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{\frac{- 2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1}))$

Passaggio 2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}))$

Passaggio 2.3.7

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{1 - 5}{5}}))$

Passaggio 2.3.9.2

Sottrai $5$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{\frac{- 4}{5}}))$

Passaggio 2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} (\frac{1}{5} x^{- \frac{4}{5}}))$

Passaggio 2.3.11

$\frac{1}{5}$ e $x^{- \frac{4}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- x^{- \frac{2}{5}} \frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.12

$\frac{x^{- \frac{4}{5}}}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5}} x^{- \frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{4}{5}}$ per $x^{- \frac{2}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.13.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{4}{5} - \frac{2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 4 - 2}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.3

Sottrai $2$ da $- 4$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{\frac{- 6}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.13.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{x^{- \frac{6}{5}}}{5})$

Passaggio 2.3.14

Sposta $x^{- \frac{6}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} - \frac{4}{5} \cdot (- \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}})$

Passaggio 2.3.15

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + 1 (\frac{4}{5}) \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 2.3.16

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $1$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 2.3.17

Moltiplica $\frac{4}{5}$ per $\frac{1}{5 x^{\frac{6}{5}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{5 (5 x^{\frac{6}{5}})}$

Passaggio 2.3.18

Moltiplica $5$ per $5$ .

$f'' (x) = - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}} + \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = \frac{4}{25 x^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 x^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{\frac{3}{5}} - x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{3}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{3}{5}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{5}}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 1 \cdot 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{3 - 5}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.6.2

Sottrai $5$ da $3$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{\frac{- 2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 4 (\frac{3}{5} x^{- \frac{2}{5}}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.8

$\frac{3}{5}$ e $x^{- \frac{2}{5}}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}) + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.9

$4$ e $\frac{3 x^{- \frac{2}{5}}}{5}$ .

$f' (x) = \frac{4 (3 x^{- \frac{2}{5}})}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.10

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f' (x) = \frac{12 x^{- \frac{2}{5}}}{5} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.2.11

Sposta $x^{- \frac{2}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} + \frac{d}{d x} (- x^{\frac{4}{5}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{4}{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{\frac{4}{5}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{d}{d x} x^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1})$

Passaggio 4.1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.4

$- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 1 \cdot 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{4 - 5}{5}})$

Passaggio 4.1.3.6.2

Sottrai $5$ da $4$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{\frac{- 1}{5}})$

Passaggio 4.1.3.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - (\frac{4}{5} x^{- \frac{1}{5}})$

Passaggio 4.1.3.8

$\frac{4}{5}$ e $x^{- \frac{1}{5}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 x^{- \frac{1}{5}}}{5}$

Passaggio 4.1.3.9

Sposta $x^{- \frac{1}{5}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $5, 5, 1$ then find LCM for the variable part $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Poiché $5$ non presenta fattori eccetto $1$ e $5$ .

$5$ è un numero primo

Passaggio 5.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.6

Il minimo comune multiplo di $5, 5, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$5$

Passaggio 5.2.7

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{2}{5}}, x^{\frac{1}{5}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo di $5 x^{\frac{2}{5}}, 5 x^{\frac{1}{5}}, 1$ è la parte numerica $5$ moltiplicata per la parte variabile.

$5 x^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $5 x^{\frac{2}{5}}$ ciascun termine in $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} = 0$ per $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12}{x^{\frac{2}{5}}} x^{\frac{2}{5}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$12 - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ nel numeratore.

$12 + \frac{- 4}{5 x^{\frac{1}{5}}} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.2

Scomponi $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ da $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (5 x^{\frac{2}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.3

Scomponi $x^{\frac{1}{5}} \cdot 5$ da $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (1)} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 (x^{\frac{1}{5}})) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.4

Elimina il fattore comune.

$12 + \frac{- 4}{x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 \cdot 1} (x^{\frac{1}{5}} \cdot 5 x^{\frac{1}{5}}) = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.2.1.4.5

Riscrivi l'espressione.

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 (5 x^{\frac{2}{5}})$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0 (5 x^{\frac{2}{5}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0 x^{\frac{2}{5}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{2}{5}}$ .

$12 - 4 x^{\frac{1}{5}} = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $12$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 x^{\frac{1}{5}} = - 12$

Passaggio 5.4.2

Eleva ogni lato dell'equazione alla potenza di $5$ per eliminare l'esponente frazionario sul lato sinistro.

${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1

Semplifica ${(- 4 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 4 x^{\frac{1}{5}}$ .

${(- 4)}^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.1.1.2

Eleva $- 4$ alla potenza di $5$ .

$- 1024 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.1.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.1.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 1024 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.1.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 1024 x^{1} = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.1.1.4

Semplifica.

$- 1024 x = {(- 12)}^{5}$

Passaggio 5.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Eleva $- 12$ alla potenza di $5$ .

$- 1024 x = - 248832$

Passaggio 5.4.4

Dividi per $- 1024$ ciascun termine in $- 1024 x = - 248832$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Dividi per $- 1024$ ciascun termine in $- 1024 x = - 248832$ .

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Passaggio 5.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 1024$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1024 x}{- 1024} = \frac{- 248832}{- 1024}$

Passaggio 5.4.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 248832}{- 1024}$

Passaggio 5.4.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.3.1

Dividi $- 248832$ per $- 1024$ .

$x = 243$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 6.1.2

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x^{1}}}$

Passaggio 6.1.3

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}} - \frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{12}{5 \sqrt[5]{x^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 \sqrt[5]{x^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${(5 \sqrt[5]{x^{2}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x^{2}}$ come $x^{\frac{2}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(5 x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{\frac{2}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$3125 {(x^{\frac{2}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3125 x^{\frac{2}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3125 x^{2} = 0^{5}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3125 x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x^{2} = 0$ .

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3125 x^{2}}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $3125$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.3.3.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.3.3.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.3.3.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.4

Imposta il denominatore in $\frac{4}{5 \sqrt[5]{x}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$5 \sqrt[5]{x} = 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva entrambi i lati dell'equazione alla $5$ potenza.

${(5 \sqrt[5]{x})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Semplifica ${(5 x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 x^{\frac{1}{5}}$ .

$5^{5} {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $5$ .

$3125 {(x^{\frac{1}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{5}})}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$3125 x^{\frac{1}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$3125 x^{1} = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.2.1.4

Semplifica.

$3125 x = 0^{5}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$3125 x = 0$

Passaggio 6.5.3

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.1

Dividi per $3125$ ciascun termine in $3125 x = 0$ .

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3125$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3125 x}{3125} = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{3125}$

Passaggio 6.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.3.3.1

Dividi $0$ per $3125$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 243, 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 243$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{25 {(243)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Riscrivi $243$ come $3^{5}$ .

$\frac{4}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{25 \cdot 3^{6}} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $6$ .

$\frac{4}{25 \cdot 729} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $25$ per $729$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 {(243)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Riscrivi $243$ come $3^{5}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot {(3^{5})}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 9.1.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Passaggio 9.1.3.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{5 (\frac{7}{5})}}$

Passaggio 9.1.3.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 3^{7}}$

Passaggio 9.1.3.4

Eleva $3$ alla potenza di $7$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{25 \cdot 2187}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $25$ per $2187$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{24}{54675}$

Passaggio 9.1.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $54675$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Scomponi $3$ da $24$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 (8)}{54675}$

Passaggio 9.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $54675$ .

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Passaggio 9.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{18225} - \frac{3 \cdot 8}{3 \cdot 18225}$

Passaggio 9.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{18225} - \frac{8}{18225}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 8}{18225}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{- 4}{18225}$

Passaggio 9.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{18225}$

Passaggio 10

$x = 243$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 243$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 243$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $243$ nell'espressione.

$f (243) = 4 {(243)}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Riscrivi $243$ come $3^{5}$ .

$f (243) = 4 {(3^{5})}^{\frac{3}{5}} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (243) = 4 \cdot 3^{5 (\frac{3}{5})} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (243) = 4 \cdot 3^{3} - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (243) = 4 \cdot 27 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $4$ per $27$ .

$f (243) = 108 - {(243)}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.6

Riscrivi $243$ come $3^{5}$ .

$f (243) = 108 - {(3^{5})}^{\frac{4}{5}}$

Passaggio 11.2.1.7

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 11.2.1.8

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (243) = 108 - 3^{5 (\frac{4}{5})}$

Passaggio 11.2.1.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (243) = 108 - 3^{4}$

Passaggio 11.2.1.9

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f (243) = 108 - 1 \cdot 81$

Passaggio 11.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$f (243) = 108 - 81$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $81$ da $108$ .

$f (243) = 27$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $27$ .

$y = 27$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{25 {(0)}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Riscrivi $0$ come $0^{5}$ .

$\frac{4}{25 {(0^{5})}^{\frac{6}{5}}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.1.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{5 (\frac{6}{5})}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{25 \cdot 0^{6}} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4}{25 \cdot 0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.3.2

Moltiplica $25$ per $0$ .

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4}{0} - \frac{24}{25 {(0)}^{\frac{7}{5}}}$

Passaggio 13.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 14

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 243) \cup (243, \infty)$

Passaggio 14.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Per scrivere $- \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.1

Moltiplica $\frac{4}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{{(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.2.2

Moltiplica ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ per ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.2.2.1

Sposta ${(- 2)}^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 ({(- 2)}^{\frac{1}{5}} {(- 2)}^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 14.2.2.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.2.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (- 2) = \frac{12}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.2.2.4

La risposta finale è $\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 {(- 2)}^{\frac{1}{5}}}{5 {(- 2)}^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, 243)$ nella derivata prima $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = \frac{12}{5 {(2)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(2)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.2

Per scrivere $- \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.1

Moltiplica $\frac{4}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{2^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.3.2

Moltiplica $2^{\frac{1}{5}}$ per $2^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.3.2.1

Sposta $2^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (2^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 14.3.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{12}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{12 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5

Moltiplica $- 4 \cdot 2^{\frac{1}{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.5.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$f' (2) = \frac{12 - (4 \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$f' (2) = \frac{12 - (2^{2} \cdot 2^{\frac{1}{5}})}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.4

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{2 \cdot \frac{5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.5

$2$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5}{5} + \frac{1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{2 \cdot 5 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.5.7.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{10 + 1}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.5.7.2

Somma $10$ e $1$ .

$f' (2) = \frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.3.2.6

La risposta finale è $\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 2^{\frac{11}{5}}}{5 \cdot 2^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $246$ , dall'intervallo $(243, \infty)$ nella derivata prima $\frac{12}{5 x^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 x^{\frac{1}{5}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $246$ nell'espressione.

$f' (246) = \frac{12}{5 {(246)}^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 {(246)}^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

Rimuovi le parentesi.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.2

Per scrivere $- \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}} \cdot \frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{4}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$ per $\frac{246^{\frac{1}{5}}}{246^{\frac{1}{5}}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2

Moltiplica $246^{\frac{1}{5}}$ per $246^{\frac{1}{5}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.3.2.1

Sposta $246^{\frac{1}{5}}$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot (246^{\frac{1}{5}} \cdot 246^{\frac{1}{5}})}$

Passaggio 14.4.2.3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1}{5} + \frac{1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{1 + 1}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.3.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$f' (246) = \frac{12}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}} - \frac{4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (246) = \frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.4.2.5

La risposta finale è $\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$ .

$\frac{12 - 4 \cdot 246^{\frac{1}{5}}}{5 \cdot 246^{\frac{2}{5}}}$

Passaggio 14.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 14.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 243$ , allora $x = 243$ è un massimo locale.

$x = 243$ è un massimo locale

Passaggio 15