Calcolo Esempi

$f (x) = 4 - 2 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 4 x$

Passaggio 1.3

Sottrai $4 x$ da $0$ .

$- 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f'' (x) = - 4$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 2 (2 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 4 x$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $4 x$ da $0$ .

$f' (x) = - 4 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x$ .

$- 4 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x = 0$ .

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4$

Passaggio 9

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

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Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 - 2 {(0)}^{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 - 2 \cdot 0$

Passaggio 10.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 4 + 0$

Passaggio 10.2.2

Somma $4$ e $0$ .

$f (0) = 4$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 - 2 x^{2}$ .

$(0, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 12