Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x^{4} - 8 x^{2} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$16 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$16 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$16 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$16 x^{3} - 16 x + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $16 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$16 x^{3} - 16 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $16 x^{3} - 16 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $16 x^{3}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 16 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $16$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 16 x$ rispetto a $x$ è $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 16 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 16$ per $1$ .

$f'' (x) = 48 x^{2} - 16$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$16 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{4}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 4 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $4$ .

$f' (x) = 16 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 16 x + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $16 x^{3} - 16 x$ e $0$ .

$f' (x) = 16 x^{3} - 16 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $16 x^{3} - 16 x$ .

$16 x^{3} - 16 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $16 x^{3} - 16 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$16 x^{3} - 16 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $16 x$ da $16 x^{3} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $16 x$ da $16 x^{3}$ .

$16 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $16 x$ da $- 16 x$ .

$16 x (x^{2}) + 16 x (- 1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $16 x$ da $16 x (x^{2}) + 16 x (- 1)$ .

$16 x (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$16 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$16 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$16 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $16 x (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(0)}^{2} - 16$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$48 \cdot 0 - 16$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 - 16$

Passaggio 9.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$- 16$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{2} + 1$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0 + 1$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(- 1)}^{2} - 16$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$48 \cdot 1 - 16$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $48$ per $1$ .

$48 - 16$

Passaggio 13.2

Sottrai $16$ da $48$ .

$32$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{2} + 1$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 - 8 {(- 1)}^{2} + 1$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (- 1) = 4 - 8 {(- 1)}^{2} + 1$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 4 - 8 \cdot 1 + 1$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f (- 1) = 4 - 8 + 1$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (- 1) = - 4 + 1$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (- 1) = - 3$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$48 {(1)}^{2} - 16$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$48 \cdot 1 - 16$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $48$ per $1$ .

$48 - 16$

Passaggio 17.2

Sottrai $16$ da $48$ .

$32$

Passaggio 18

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 4 {(1)}^{4} - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 \cdot 1 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 19.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 8 {(1)}^{2} + 1$

Passaggio 19.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 4 - 8 \cdot 1 + 1$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$f (1) = 4 - 8 + 1$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$f (1) = - 4 + 1$

Passaggio 19.2.2.2

Somma $- 4$ e $1$ .

$f (1) = - 3$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 3$ .

$y = - 3$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x^{4} - 8 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ è un massimo locale

$(- 1, - 3)$ è un minimo locale

$(1, - 3)$ è un minimo locale

Passaggio 21