Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x \sqrt{100 - x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{100 - x^{2}}$ come ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 100 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.10

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.18

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.20.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.22

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 1.23

Moltiplica ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 1.24

Per scrivere ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26

Moltiplica ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.26.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.27

Semplifica ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.29

$4$ e $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.2.2

Moltiplica $4$ per $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.3

Riordina i termini.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.4

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2} + 400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.30.4.1

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.4.2

Scomponi $8$ da $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.4.3

Scomponi $8$ da $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.6

Riscrivi $50$ come $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.8

Riscrivi $- (x^{2} - 50)$ come $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.30.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 50$ e $g (x) = {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 50$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.5.3

Poiché $- 50$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 50$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.5.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.11.2

$\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{{(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} + 100$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.13

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.14

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.15

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.16

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.17

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.17.1

Somma $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.17.2

$- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.17.3

$\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.17.4

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.18

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.18.1

Scomponi $2$ da $2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.18.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.18.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.19

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.19.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.19.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 1 (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.19.3

Moltiplica $x^{2} - 50$ per $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.20

$- 8$ e $\frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.1

Moltiplica $2$ per $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.2

Moltiplica $x^{2} - 50$ per $\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 8 (\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.3

$8$ e $\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 ((x^{2} - 50) x)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.4

Per scrivere $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6

Riscrivi $\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.6.1

Scomponi $8 x$ da $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.6.1.1

Scomponi $8 x$ da $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.1.2

Scomponi $8 x$ da $8 (x^{2} - 50) x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.1.3

Scomponi $8 x$ da $8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.6.2.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ per ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.6.2.1.1

Sposta ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2.1.5

Dividi $2$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.6.2.2

Semplifica $2 {(- x^{2} + 100)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.2.7.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2}) + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.7.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.7.3

Moltiplica $2$ per $100$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 200 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.7.4

Somma $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 200 - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.2.7.5

Sottrai $50$ da $200$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Passaggio 2.22.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.3.1

Riscrivi $\frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ come un prodotto.

$f'' (x) = - (\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 100})$

Passaggio 2.22.3.2

Moltiplica $\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{1}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Passaggio 2.22.3.3

Moltiplica ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 100$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.3.3.1

Moltiplica ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ per $- x^{2} + 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.22.3.3.1.1

Eleva $- x^{2} + 100$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Passaggio 2.22.3.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Passaggio 2.22.3.3.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.22.3.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Passaggio 2.22.3.3.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.4

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.5

Riscrivi $150$ come $- 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.6

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.7

Riscrivi $- (x^{2} - 150)$ come $- 1 (x^{2} - 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- 1 (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 2.22.9

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}})$

Passaggio 2.22.10

Moltiplica $\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{100 - x^{2}}$ come ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 100 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{2}$ e ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.8.4

$\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $100 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.10

Poiché $100$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $100$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.14

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.14.2

$- 2$ e $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.14.3

$\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.15

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.17

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.18

Somma $1$ e $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.19

Scomponi $2$ da $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.20

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.20.2

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.20.3

Riscrivi l'espressione.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 4.1.22

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Passaggio 4.1.23

Moltiplica ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 4.1.24

Per scrivere ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 4.1.25

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26

Moltiplica ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.26.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.3

Somma $1$ e $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.26.4

Dividi $2$ per $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.27

Semplifica ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.28

Sottrai $x^{2}$ da $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.29

$4$ e $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.30.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.30.2.1

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.2.2

Moltiplica $4$ per $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.3

Riordina i termini.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.4

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2} + 400$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.30.4.1

Scomponi $8$ da $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.4.2

Scomponi $8$ da $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.4.3

Scomponi $8$ da $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.5

Scomponi $- 1$ da $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.6

Riscrivi $50$ come $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.7

Scomponi $- 1$ da $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.8

Riscrivi $- (x^{2} - 50)$ come $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.1.30.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = - \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$8 (x^{2} - 50) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x^{2} - 50) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 (x^{2} - 50) = 0$ .

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.2.1.2

Dividi $x^{2} - 50$ per $1$ .

$x^{2} - 50 = \frac{0}{8}$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Dividi $0$ per $8$ .

$x^{2} - 50 = 0$

Passaggio 5.3.2

Somma $50$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 50$

Passaggio 5.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{50}$

Passaggio 5.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Riscrivi $50$ come $5^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$x = \pm \sqrt{25 (2)}$

Passaggio 5.3.4.1.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Passaggio 5.3.4.2

Estrai i termini dal radicale.

$x = \pm 5 \sqrt{2}$

Passaggio 5.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 5 \sqrt{2}$

Passaggio 5.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 5 \sqrt{2}$

Passaggio 5.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{{(- x^{2} + 100)}^{1}}}$

Passaggio 6.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$\sqrt{- x^{2} + 100} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{- x^{2} + 100}}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{- x^{2} + 100}$ come ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(- x^{2} + 100)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Semplifica.

$- x^{2} + 100 = 0^{2}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- x^{2} + 100 = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x^{2} = - 100$

Passaggio 6.3.3.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 100$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} = - 100$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.3.1

Dividi $- 100$ per $- 1$ .

$x^{2} = 100$

Passaggio 6.3.3.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{100}$

Passaggio 6.3.3.4

Semplifica $\pm \sqrt{100}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.4.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 6.3.3.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 10$

Passaggio 6.3.3.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 10$

Passaggio 6.3.3.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 10$

Passaggio 6.3.3.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 10, - 10$

Passaggio 6.4

Imposta il radicando in $\sqrt{- x^{2} + 100}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$- x^{2} + 100 < 0$

Passaggio 6.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Sottrai $100$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$- x^{2} < - 100$

Passaggio 6.5.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 100$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x^{2} < - 100$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} > \frac{- 100}{- 1}$

Passaggio 6.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Dividi $- 100$ per $- 1$ .

$x^{2} > 100$

Passaggio 6.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati della diseguaglianza per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{100}$

Passaggio 6.5.4

Semplifica l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.1.1

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > \sqrt{100}$

Passaggio 6.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1

Semplifica $\sqrt{100}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.4.2.1.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$| x | > \sqrt{10^{2}}$

Passaggio 6.5.4.2.1.2

Estrai i termini dal radicale.

$| x | > | 10 |$

Passaggio 6.5.4.2.1.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $10$ è $10$ .

$| x | > 10$

Passaggio 6.5.5

Scrivi $| x | > 10$ a tratti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.5.1

Per individuare l'intervallo per la prima parte, trova dove l'interno del valore assoluto è non negativo.

$x \geq 0$

Passaggio 6.5.5.2

Nella parte in cui $x$ è non negativo, rimuovi il valore assoluto.

$x > 10$

Passaggio 6.5.5.3

Per individuare l'intervallo per la seconda parte, trova dove l'interno del valore assoluto è negativo.

$x < 0$

Passaggio 6.5.5.4

Nella parte in cui $x$ è negativo, rimuovi il valore assoluto e moltiplica per $- 1$ .

$- x > 10$

Passaggio 6.5.5.5

Scrivi a tratti.

${\begin{cases} x > 10 & x \geq 0 \\ - x > 10 & x < 0 \end{cases}$

Passaggio 6.5.6

Trova l'intersezione di $x > 10$ e $x \geq 0$ .

$x > 10$

Passaggio 6.5.7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x > 10$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{10}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{10}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{10}{- 1}$

Passaggio 6.5.7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.7.3.1

Dividi $10$ per $- 1$ .

$x < - 10$

Passaggio 6.5.8

Trova l'unione delle soluzioni.

$x < - 10$ o $x > 10$

Passaggio 6.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}, - 10, 10$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 5 \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(8 (5 \sqrt{2})) ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $8$ per $5$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (5^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.4

Moltiplica $- (25 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.4.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Somma $- 50$ e $100$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.5

Sottrai $150$ da $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.3.6

Moltiplica $- 100$ per $40$ .

$\frac{- 4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 9.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 10

$x = 5 \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 5 \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 5 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $5 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (5 \sqrt{2}) = 4 (5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 11.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 11.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 11.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 11.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Passaggio 11.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- (25 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Passaggio 11.2.4

Sottrai $50$ da $100$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi $50$ come $5^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Passaggio 11.2.5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Passaggio 11.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.7.1

Moltiplica $5$ per $20$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Passaggio 11.2.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Passaggio 11.2.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 11.2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 11.2.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 11.2.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 11.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 11.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 11.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Passaggio 11.2.8.5

Calcola l'esponente.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Passaggio 11.2.9

Moltiplica $100$ per $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 200$

Passaggio 11.2.10

La risposta finale è $200$ .

$y = 200$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 5 \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(8 (- 5 \sqrt{2})) ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 5$ per $8$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4

Moltiplica $- (25 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1.4.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.1.4.2

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.2.2

Somma $- 50$ e $100$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Applica la regola del prodotto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.2

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.4

Moltiplica $25$ per $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.5

Sottrai $150$ da $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 13.3.6

Moltiplica $- 100$ per $- 40$ .

$\frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 14

$x = - 5 \sqrt{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 5 \sqrt{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 5 \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5 \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- 5 \sqrt{2}) = 4 (- 5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $- 5$ per $4$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Passaggio 15.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Passaggio 15.2.2

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Passaggio 15.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Passaggio 15.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 15.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Passaggio 15.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Passaggio 15.2.2.5

Calcola l'esponente.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $- (25 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $25$ per $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Passaggio 15.2.4

Sottrai $50$ da $100$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Passaggio 15.2.5

Riscrivi $50$ come $5^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Passaggio 15.2.5.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Passaggio 15.2.6

Estrai i termini dal radicale.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Passaggio 15.2.7

Moltiplica $- 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.7.1

Moltiplica $5$ per $- 20$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Passaggio 15.2.7.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Passaggio 15.2.7.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Passaggio 15.2.7.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Passaggio 15.2.7.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Passaggio 15.2.8

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 15.2.8.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 15.2.8.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 15.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 15.2.8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Passaggio 15.2.8.5

Calcola l'esponente.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Passaggio 15.2.9

Moltiplica $- 100$ per $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 200$

Passaggio 15.2.10

La risposta finale è $- 200$ .

$y = - 200$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = - 10$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- {(- 10)}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $2$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 1$ per $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $- 100$ e $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Passaggio 17.2.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 17.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Passaggio 17.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{3}}$

Passaggio 17.2.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Passaggio 17.2.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Passaggio 17.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché il test della derivata prima è fallito, non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 19