Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x + \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{1}{x}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{x} + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{x} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 2.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6