Calcolo Esempi

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{3} - 12 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{3}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$192 x^{2} - 12 + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $192 x^{2} - 12$ e $0$ .

$192 x^{2} - 12$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $192 x^{2} - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $192$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $192 x^{2}$ rispetto a $x$ è $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $192$ .

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 384 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $384 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 384 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$192 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $64 x^{3} - 12 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $64 x^{3}$ rispetto a $x$ è $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $64$ .

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $192 x^{2} - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $192 x^{2} - 12$ .

$192 x^{2} - 12$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $192 x^{2} - 12 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$192 x^{2} - 12 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$192 x^{2} = 12$

Passaggio 5.3

Dividi per $192$ ciascun termine in $192 x^{2} = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $192$ ciascun termine in $192 x^{2} = 12$ .

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{192}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $12$ e $192$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $12$ da $12$ .

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $12$ da $192$ .

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{16}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.5.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Passaggio 5.5.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$384 (\frac{1}{4})$

Passaggio 9

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Scomponi $4$ da $384$ .

$4 (96) \frac{1}{4}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

Passaggio 9.3

Riscrivi l'espressione.

$96$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.5.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 11.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

Passaggio 11.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Sottrai $3$ da $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 2$ e $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $6$ .

$y = 6$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$384 (- \frac{1}{4})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$384 (\frac{- 1}{4})$

Passaggio 13.1.2

Scomponi $4$ da $384$ .

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi l'espressione.

$96 \cdot - 1$

Passaggio 13.2

Moltiplica $96$ per $- 1$ .

$- 96$

Passaggio 14

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{4}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.5

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{64}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.6.2

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

Passaggio 15.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

Passaggio 15.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $2$ e $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $10$ .

$y = 10$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ .

$(\frac{1}{4}, 6)$ è un minimo locale

$(- \frac{1}{4}, 10)$ è un massimo locale

Passaggio 17