Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{15}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{15}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{15}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 15$ .

$6 (15 x^{14}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $15$ per $6$ .

$90 x^{14} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$90 x^{14} - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$90 x^{14} - 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2} + 0$

Passaggio 1.4.2

Somma $90 x^{14} - 27 x^{2}$ e $0$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $90 x^{14} - 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [90 x^{14}] + \frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (90 x^{14}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [90 x^{14}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $90$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $90 x^{14}$ rispetto a $x$ è $90 \frac{d}{d x} [x^{14}]$ .

$f'' (x) = 90 \frac{d}{d x} (x^{14}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 14$ .

$f'' (x) = 90 (14 x^{13}) + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $14$ per $90$ .

$f'' (x) = 1260 x^{13} + \frac{d}{d x} (- 27 x^{2})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 27 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 27$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 27 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 27 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 27 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 27 (2 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $- 27$ .

$f'' (x) = 1260 x^{13} - 54 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{15}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{15}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{15}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{15}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 15$ .

$6 (15 x^{14}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $15$ per $6$ .

$90 x^{14} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$90 x^{14} - 9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$90 x^{14} - 9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 9$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2} + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Somma $90 x^{14} - 27 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 90 x^{14} - 27 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $90 x^{14} - 27 x^{2}$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$90 x^{14} - 27 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $9 x^{2}$ da $90 x^{14} - 27 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $9 x^{2}$ da $90 x^{14}$ .

$9 x^{2} (10 x^{12}) - 27 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $9 x^{2}$ da $- 27 x^{2}$ .

$9 x^{2} (10 x^{12}) + 9 x^{2} (- 3) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $9 x^{2}$ da $9 x^{2} (10 x^{12}) + 9 x^{2} (- 3)$ .

$9 x^{2} (10 x^{12} - 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$10 x^{12} - 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $10 x^{12} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $10 x^{12} - 3$ uguale a $0$ .

$10 x^{12} - 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $10 x^{12} - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$10 x^{12} = 3$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x^{12} = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x^{12} = 3$ .

$\frac{10 x^{12}}{10} = \frac{3}{10}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x^{12}}{10} = \frac{3}{10}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{12}$ per $1$ .

$x^{12} = \frac{3}{10}$

Passaggio 5.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{3}{10}}$

Passaggio 5.5.2.4

Riscrivi $\sqrt[12]{\frac{3}{10}}$ come $\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 5.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 5.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $9 x^{2} (10 x^{12} - 3) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$1260 {(0)}^{13} - 54 \cdot 0$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$1260 \cdot 0 - 54 \cdot 0$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $1260$ per $0$ .

$0 - 54 \cdot 0$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 54$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}) \cup (- \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}) \cup (\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 3$ , dell'intervallo $(- \infty, - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})$ nella derivata prima $90 x^{14} - 27 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f' (- 3) = 90 {(- 3)}^{14} - 27 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $14$ .

$f' (- 3) = 90 \cdot 4782969 - 27 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $90$ per $4782969$ .

$f' (- 3) = 430467210 - 27 {(- 3)}^{2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 3) = 430467210 - 27 \cdot 9$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $9$ .

$f' (- 3) = 430467210 - 243$

Passaggio 10.2.2.2

Sottrai $243$ da $430467210$ .

$f' (- 3) = 430466967$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $430466967$ .

$430466967$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.45$ , dell'intervallo $(- \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, 0)$ nella derivata prima $90 x^{14} - 27 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.45$ nell'espressione.

$f' (- 0.45) = 90 {(- 0.45)}^{14} - 27 {(- 0.45)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 0.45$ alla potenza di $14$ .

$f' (- 0.45) = 90 \cdot 0.00001396 - 27 {(- 0.45)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $90$ per $0.00001396$ .

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 27 {(- 0.45)}^{2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $- 0.45$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 27 \cdot 0.2025$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $0.2025$ .

$f' (- 0.45) = 0.00125665 - 5.4675$

Passaggio 10.3.2.2

Sottrai $5.4675$ da $0.00125665$ .

$f' (- 0.45) = - 5.46624334$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 5.46624334$ .

$- 5.46624334$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.45$ , dell'intervallo $(0, \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}})$ nella derivata prima $90 x^{14} - 27 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.45$ nell'espressione.

$f' (0.45) = 90 {(0.45)}^{14} - 27 {(0.45)}^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $0.45$ alla potenza di $14$ .

$f' (0.45) = 90 \cdot 0.00001396 - 27 {(0.45)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $90$ per $0.00001396$ .

$f' (0.45) = 0.00125665 - 27 {(0.45)}^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $0.45$ alla potenza di $2$ .

$f' (0.45) = 0.00125665 - 27 \cdot 0.2025$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $0.2025$ .

$f' (0.45) = 0.00125665 - 5.4675$

Passaggio 10.4.2.2

Sottrai $5.4675$ da $0.00125665$ .

$f' (0.45) = - 5.46624334$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- 5.46624334$ .

$- 5.46624334$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dell'intervallo $(\frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}, \infty)$ nella derivata prima $90 x^{14} - 27 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = 90 {(3)}^{14} - 27 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $14$ .

$f' (3) = 90 \cdot 4782969 - 27 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $90$ per $4782969$ .

$f' (3) = 430467210 - 27 {(3)}^{2}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f' (3) = 430467210 - 27 \cdot 9$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $- 27$ per $9$ .

$f' (3) = 430467210 - 243$

Passaggio 10.5.2.2

Sottrai $243$ da $430467210$ .

$f' (3) = 430466967$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $430466967$ .

$430466967$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ , allora $x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un massimo locale.

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un massimo locale

Passaggio 10.7

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ , allora $x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un minimo locale.

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 x^{15} - 9 x^{3} + 1$ .

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un massimo locale

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un minimo locale

$x = - \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un massimo locale

$x = \frac{\sqrt[12]{3}}{\sqrt[12]{10}}$ è un minimo locale

Passaggio 11