Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x + \cos (2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Passaggio 1.3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Passaggio 1.3.7

Somma $2$ e $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Passaggio 1.3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Differenzia.

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Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Passaggio 2.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

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Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 \sin (2 x + 1)$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Passaggio 2.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Passaggio 2.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Passaggio 2.2.8

Somma $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Passaggio 2.2.9

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Passaggio 2.3

Sottrai $4 \cos (2 x + 1)$ da $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Passaggio 4

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Passaggio 5

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin (2 x + 1)$ per $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Passaggio 6

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $\frac{5}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 7

Calcola la derivata seconda per $x =$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 8.1

Somma $2$ e $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Passaggio 8.2

Calcola $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Passaggio 8.3

Moltiplica $- 4$ per $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Passaggio 9

$x =$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x =$ è un massimo locale

Passaggio 10

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ è un massimo locale

Passaggio 11