Calcolo Esempi

$f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$6 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$6 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.3.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.6

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Passaggio 2.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) - 12 (- \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Fattorizza $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi $12 \cos (x)$ da $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Scomponi $12 \cos (x)$ da $- 12 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 12 \cos (x) = 0$

Passaggio 4.1.2

Scomponi $12 \cos (x)$ da $- 12 \cos (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 4.1.3

Scomponi $12 \cos (x)$ da $12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 4.2

Riscrivi $- 1 \sin (x)$ come $- \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 6

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 6.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 6.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7

Imposta $- \sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $- \sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $- \sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 7.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 7.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 7.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 7.2.6.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 7.2.7

La soluzione dell'equazione $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 12 \cdot 1^{2} + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $12$ per $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 10.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot 1$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $12$ per $1$ .

$0 + 12 + 12$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $12$ .

$12 + 12$

Passaggio 10.2.2

Somma $12$ e $12$ .

$24$

Passaggio 11

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0^{2} - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.3

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \cdot 1$

Passaggio 12.2.1.5

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12$

Passaggio 12.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 12$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$y = - 12$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 + 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 12 {(- 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.9

Moltiplica $12$ per $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 14.1.10

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 + 12 + 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 14.1.11

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 12 + 12 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 14.1.12

Moltiplica $12 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot - 1$

Passaggio 14.1.12.2

Moltiplica $12$ per $- 1$ .

$0 + 12 - 12$

Passaggio 14.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $0$ e $12$ .

$12 - 12$

Passaggio 14.2.2

Sottrai $12$ da $12$ .

$0$

Passaggio 15

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Passaggio 15.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = - 12 \cos (- 4) \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Passaggio 15.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1.1

Calcola $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 12 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 12 \cos (- 4)$

Passaggio 15.2.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Passaggio 15.2.2.1.3

Calcola $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \cdot 0.75680249 - 12 \cos (- 4)$

Passaggio 15.2.2.1.4

Moltiplica $7.84372345$ per $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cos (- 4)$

Passaggio 15.2.2.1.5

Calcola $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cdot - 0.65364362$

Passaggio 15.2.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 + 7.84372345$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $5.93614947$ e $7.84372345$ .

$f' (- 4) = 13.77987293$

Passaggio 15.2.2.3

La risposta finale è $13.77987293$ .

$13.77987293$

Passaggio 15.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ nella derivata prima $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = - 12 \cos (0) \sin (0) - 12 \cos (0)$

Passaggio 15.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = - 12 \cdot (1 \sin (0)) - 12 \cos (0)$

Passaggio 15.3.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (0) = - 12 \sin (0) - 12 \cos (0)$

Passaggio 15.3.2.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$f' (0) = - 12 \cdot 0 - 12 \cos (0)$

Passaggio 15.3.2.1.4

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cos (0)$

Passaggio 15.3.2.1.5

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 1$

Passaggio 15.3.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Passaggio 15.3.2.2

Sottrai $12$ da $0$ .

$f' (0) = - 12$

Passaggio 15.3.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 15.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dall'intervallo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ nella derivata prima $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 12 \cos (3) \sin (3) - 12 \cos (3)$

Passaggio 15.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.4.2.1.1

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 12 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 12 \cos (3)$

Passaggio 15.4.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 11.87990995 \sin (3) - 12 \cos (3)$

Passaggio 15.4.2.1.3

Calcola $\sin (3)$ .

$f' (3) = 11.87990995 \cdot 0.14112 - 12 \cos (3)$

Passaggio 15.4.2.1.4

Moltiplica $11.87990995$ per $0.14112$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cos (3)$

Passaggio 15.4.2.1.5

Calcola $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cdot - 0.98999249$

Passaggio 15.4.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1.67649298 + 11.87990995$

Passaggio 15.4.2.2

Somma $1.67649298$ e $11.87990995$ .

$f' (3) = 13.55640294$

Passaggio 15.4.2.3

La risposta finale è $13.55640294$ .

$13.55640294$

Passaggio 15.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $7$ , dall'intervallo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ nella derivata prima $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $7$ nell'espressione.

$f' (7) = - 12 \cos (7) \sin (7) - 12 \cos (7)$

Passaggio 15.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.5.2.1.1

Calcola $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 12 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 12 \cos (7)$

Passaggio 15.5.2.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0.75390225$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \sin (7) - 12 \cos (7)$

Passaggio 15.5.2.1.3

Calcola $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \cdot 0.65698659 - 12 \cos (7)$

Passaggio 15.5.2.1.4

Moltiplica $- 9.04682705$ per $0.65698659$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cos (7)$

Passaggio 15.5.2.1.5

Calcola $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cdot 0.75390225$

Passaggio 15.5.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $0.75390225$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 9.04682705$

Passaggio 15.5.2.2

Sottrai $9.04682705$ da $- 5.94364413$ .

$f' (7) = - 14.99047118$

Passaggio 15.5.2.3

La risposta finale è $- 14.99047118$ .

$- 14.99047118$

Passaggio 15.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - \frac{π}{2}$ , allora $x = - \frac{π}{2}$ è un massimo locale.

$x = - \frac{π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{π}{2}$ , allora $x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{3 π}{2}$ , allora $x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

$x = - \frac{π}{2}$ è un massimo locale

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 16