Calcolo Esempi

$f (x) = 5 x^{3} - 125 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 125 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 125 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 125$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 125 x$ rispetto a $x$ è $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 125$ per $1$ .

$15 x^{2} - 125$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{2} - 125$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 125]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{2}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 125)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $15$ .

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 125)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 125$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 125$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 30 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $30 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 30 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$15 x^{2} - 125 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{3} - 125 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{3}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 125 x)$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 125 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 125$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 125 x$ rispetto a $x$ è $- 125 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 125$ per $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 125$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{2} - 125$ .

$15 x^{2} - 125$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $15 x^{2} - 125 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$15 x^{2} - 125 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $125$ a entrambi i lati dell'equazione.

$15 x^{2} = 125$

Passaggio 5.3

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 125$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $15$ ciascun termine in $15 x^{2} = 125$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{125}{15}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{125}{15}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $125$ e $15$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Scomponi $5$ da $125$ .

$x^{2} = \frac{5 (25)}{15}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.2.1

Scomponi $5$ da $15$ .

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{5 \cdot 25}{5 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = \frac{25}{3}$

Passaggio 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{25}{3}}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{25}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{25}{3}}$ come $\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{5^{2}}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.3

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.5.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.5.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.5.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.5.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.5.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.5.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.5.4.6.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Scomponi $3$ da $30$ .

$3 (10) \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.1.2

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 10 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 9.1.3

Riscrivi l'espressione.

$10 (5 \sqrt{3})$

Passaggio 9.2

Moltiplica $5$ per $10$ .

$50 \sqrt{3}$

Passaggio 10

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.2.6

Moltiplica $125$ per $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.4

Elimina il fattore comune di $375$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

Scomponi $3$ da $375 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (\frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $5 \frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.5.1

$5$ e $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.5.2

Moltiplica $125$ per $5$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 125 \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

$- 125$ e $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 11.2.1.6.2

Moltiplica $5$ per $- 125$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 625 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- \frac{625 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3}}{9} - \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $3$ per $- 625$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{625 \sqrt{3} - 1875 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $1875 \sqrt{3}$ da $625 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1250 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $- \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$30 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 13.1.2

Scomponi $3$ da $30$ .

$3 (10) \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot 10 \frac{- 5 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi l'espressione.

$10 (- 5 \sqrt{3})$

Passaggio 13.2

Moltiplica $- 5$ per $10$ .

$- 50 \sqrt{3}$

Passaggio 14

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 {(- \frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} {(\frac{5 \sqrt{3}}{3})}^{3}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{{(5 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.1.3

Applica la regola del prodotto a $5 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 ({(- 1)}^{3} (\frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}})) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{5^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 {\sqrt{3}}^{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{3}}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{27}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.4

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.4.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{9 (3)}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.4.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.5

Estrai i termini dal radicale.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \cdot (3 \sqrt{3})}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.3.6

Moltiplica $125$ per $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{3^{3}}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{375 \sqrt{3}}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.5

Elimina il fattore comune di $375$ e $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.1

Scomponi $3$ da $375 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{27}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.5.2.1

Scomponi $3$ da $27$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 (9)}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{3 (125 \sqrt{3})}{3 \cdot 9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = 5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9}) - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.6

Moltiplica $5 (- \frac{125 \sqrt{3}}{9})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - 5 \frac{125 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.6.2

$- 5$ e $\frac{125 \sqrt{3}}{9}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 5 (125 \sqrt{3})}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.6.3

Moltiplica $125$ per $- 5$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{(625) \sqrt{3}}{9} - 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.8

Moltiplica $- 125 (- \frac{5 \sqrt{3}}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $- 125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + 125 (\frac{5 \sqrt{3}}{3})$

Passaggio 15.2.1.8.2

$125$ e $\frac{5 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{125 (5 \sqrt{3})}{3}$

Passaggio 15.2.1.8.3

Moltiplica $5$ per $125$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{625 \sqrt{3}}{3}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{3 \cdot 3}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{625 \sqrt{3}}{9} + \frac{625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 625 \sqrt{3} \cdot 3}{9}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 15.2.5.1

Moltiplica $3$ per $625$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 625 \sqrt{3} + 1875 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 15.2.5.2

Somma $- 625 \sqrt{3}$ e $1875 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{5 \sqrt{3}}{3}) = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{1250 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{1250 \sqrt{3}}{9}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{3} - 125 x$ .

$(\frac{5 \sqrt{3}}{3}, - \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ è un minimo locale

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{3}, \frac{1250 \sqrt{3}}{9})$ è un massimo locale

Passaggio 17