Calcolo Esempi

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \cos^{2} (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Passaggio 1.4

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Passaggio 1.5

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10 \cos (x) \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.4

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.5

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Passaggio 2.8

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Passaggio 2.9

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 2.10

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Passaggio 2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Passaggio 2.12

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Passaggio 2.13.2

Moltiplica $- 1$ per $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Passaggio 5

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\cos (x)$ uguale a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\cos (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 6

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 6.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 6.2.5

La soluzione dell'equazione $x = 0$ .

$x = 0, π$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 9.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Passaggio 9.1.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$0 + 10 \cdot 1$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $10$ per $1$ .

$0 + 10$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $10$ .

$10$

Passaggio 10

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Passaggio 11.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 13.1.5

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Passaggio 13.1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 13.1.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 13.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Passaggio 13.1.9

Moltiplica $10$ per $1$ .

$0 + 10$

Passaggio 13.2

Somma $0$ e $10$ .

$10$

Passaggio 14

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Passaggio 15.2.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Passaggio 15.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Passaggio 15.2.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Passaggio 15.2.5

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Passaggio 17.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Passaggio 17.1.4

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Passaggio 17.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Passaggio 17.1.6

Moltiplica $10$ per $0$ .

$- 10 + 0$

Passaggio 17.2

Somma $- 10$ e $0$ .

$- 10$

Passaggio 18

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Passaggio 19.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Passaggio 19.2.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (0) = 5$

Passaggio 19.2.4

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 20

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21.1.5

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Passaggio 21.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Passaggio 21.1.7

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Passaggio 21.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Passaggio 21.1.9

Moltiplica $10$ per $0$ .

$- 10 + 0$

Passaggio 21.2

Somma $- 10$ e $0$ .

$- 10$

Passaggio 22

$x = π$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un massimo locale

Passaggio 23

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Passaggio 23.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 23.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Passaggio 23.2.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Passaggio 23.2.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Passaggio 23.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Passaggio 23.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$f (π) = 5$

Passaggio 23.2.6

La risposta finale è $5$ .

$y = 5$

Passaggio 24

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ è un minimo locale

$(0, 5)$ è un massimo locale

$(π, 5)$ è un massimo locale

Passaggio 25