Calcolo Esempi

$f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x \ln (x) - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Passaggio 1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$4 \ln (x) - 3$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 \ln (x) - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 4 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.2.3

$4$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{4}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{4}{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x \ln (x) - 7 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.5

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.2.7

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [- 7 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 7 x$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7 \cdot 1$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$4 (1 + \ln (x)) - 7$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 \ln (x) - 7$

Passaggio 4.1.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 \ln (x) - 7$

Passaggio 4.1.4.2.2

Sottrai $7$ da $4$ .

$f' (x) = 4 \ln (x) - 3$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 \ln (x) - 3$ .

$4 \ln (x) - 3$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 \ln (x) - 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 \ln (x) - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \ln (x) = 3$

Passaggio 5.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \ln (x) = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \ln (x) = 3$ .

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \ln (x)}{4} = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{3}{4}$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = \frac{3}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3}{4}} = x$

Passaggio 5.6

Riscrivi l'equazione come $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = e^{\frac{3}{4}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4}{e^{\frac{3}{4}}}$

Passaggio 9

$x = e^{\frac{3}{4}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = e^{\frac{3}{4}}$ è un minimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = e^{\frac{3}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $e^{\frac{3}{4}}$ nell'espressione.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) \ln (e^{\frac{3}{4}}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Usa le regole del logaritmo per togliere $\frac{3}{4}$ dall'esponente.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot \ln (e)) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4} \cdot 1) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $1$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 (e^{\frac{3}{4}}) (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 4 e^{\frac{3}{4}} (\frac{3}{4}) - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (e^{\frac{3}{4}}) = e^{\frac{3}{4}} \cdot 3 - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = 3 e^{\frac{3}{4}} - 7 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.2

Sottrai $7 e^{\frac{3}{4}}$ da $3 e^{\frac{3}{4}}$ .

$f (e^{\frac{3}{4}}) = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 10.2.3

La risposta finale è $- 4 e^{\frac{3}{4}}$ .

$y = - 4 e^{\frac{3}{4}}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x \ln (x) - 7 x$ .

$(e^{\frac{3}{4}}, - 4 e^{\frac{3}{4}})$ è un minimo locale

Passaggio 12