Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.2.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Passaggio 1.3.4

Riordina i termini.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (4 x^{3} \ln (x))$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3} \ln (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3} \ln (x)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} \ln (x))$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 2.2.3

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{3} (\frac{1}{x}) + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.5

$x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{3}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (\frac{x^{2}}{1} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.2.6.2.5

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 (x^{2} + \ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 4 (\ln (x) (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = 3 x^{2} + 4 x^{2} + 12 (\ln (x) (x^{2}))$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $3 x^{2}$ e $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 \ln (x) x^{2}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 7 x^{2} + 12 x^{2} \ln (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x^{4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

$x^{4}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.1

Scomponi $x$ da $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x^{1}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.2

Scomponi $x$ da $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \cdot x^{3}}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3}}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.2.2.5

Dividi $x^{3}$ per $1$ .

$x^{3} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{3} + \ln (x) (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.3.4

Riordina i termini.

$f' (x) = x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x)$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{3} + 4 x^{3} \ln (x) = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $x^{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$

Passaggio 5.3

Dividi per $4 x^{3}$ ciascun termine in $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $4 x^{3}$ ciascun termine in $4 x^{3} \ln (x) = - x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{3} \ln (x)}{4 x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{3} \ln (x)}{x^{3}} = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Dividi $\ln (x)$ per $1$ .

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (x) = \frac{- x^{3}}{4 x^{3}}$

Passaggio 5.3.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (x) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\ln (x) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.4

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione usando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x)} = e^{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5

Riscrivi $\ln (x) = - \frac{1}{4}$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4}} = x$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Riscrivi l'equazione come $x = e^{- \frac{1}{4}}$ .

$x = e^{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.6.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta l'argomento in $\ln (x)$ in modo che sia minore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$x \leq 0$

Passaggio 6.2

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$7 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$7 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$7 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$7 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.4

$7$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{2} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1^{2}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.7.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.7.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot 2}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + 12 \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.8

$12$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 9.1.9

Sposta $e^{\frac{1}{4}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

Passaggio 9.1.10

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ spostando $- \frac{1}{4}$ fuori dal logaritmo.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \ln (e))$

Passaggio 9.1.11

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{4})$

Passaggio 9.1.13

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.13.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4}$ nel numeratore.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{12}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Passaggio 9.1.13.2

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 (3)}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Passaggio 9.1.13.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{4 \cdot 3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 1}{4}$

Passaggio 9.1.13.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1$

Passaggio 9.1.14

$\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \cdot - 1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.1.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7 - 3}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $3$ da $7$ .

$\frac{4}{e^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = {(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})}^{4} \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1^{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e^{\frac{1}{4} \cdot 4}} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}})$

Passaggio 11.2.3

Sposta $e^{\frac{1}{4}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{- \frac{1}{4}})$

Passaggio 11.2.4

Espandi $\ln (e^{- \frac{1}{4}})$ spostando $- \frac{1}{4}$ fuori dal logaritmo.

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Passaggio 11.2.5

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4} \cdot 1)$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = \frac{1}{e} \cdot (- \frac{1}{4})$

Passaggio 11.2.7

Moltiplica $\frac{1}{e}$ per $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{e \cdot 4}$

Passaggio 11.2.8

Sposta $4$ alla sinistra di $e$ .

$f (\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}) = - \frac{1}{4 e}$

Passaggio 11.2.9

La risposta finale è $- \frac{1}{4 e}$ .

$y = - \frac{1}{4 e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}, - \frac{1}{4 e})$ è un minimo locale

Passaggio 13