Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} e^{- 6 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$x^{5} \frac{d}{d x} [e^{- 6 x}] + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 6 x$ .

$x^{5} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 6 x$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [- 6 x]) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $e^{- 6 x}$ .

$x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 6 x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x^{5} e^{- 6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x^{5} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 \frac{d}{d x} (x^{5} e^{- 6 x}) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $- 6$ alla sinistra di $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} (5 x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4} e^{- 6 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4} e^{- 6 x}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- 6 x}]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- 6 x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 6 x$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{4}))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.3.8

Sposta $- 6$ alla sinistra di $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 6 (x^{5} (- 6 e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 36 (x^{5} (e^{- 6 x})) - 6 (e^{- 6 x} (5 x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $5$ per $- 6$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 (e^{- 6 x} (x^{4})) + 5 (x^{4} (- 6 e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $- 6$ per $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 (x^{4} (e^{- 6 x})) + 5 (e^{- 6 x} (4 x^{3}))$

Passaggio 2.4.3.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 e^{- 6 x} x^{4} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 (e^{- 6 x} (x^{3}))$

Passaggio 2.4.3.5

Sottrai $30 x^{4} e^{- 6 x}$ da $- 30 e^{- 6 x} x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.5.1

Sposta $e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} - 30 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Passaggio 2.4.3.5.2

Sottrai $30 x^{4} e^{- 6 x}$ da $- 30 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $36 e^{- 6 x} x^{5} - 60 e^{- 6 x} x^{4} + 20 e^{- 6 x} x^{3}$ .

$f'' (x) = 36 x^{5} e^{- 6 x} - 60 x^{4} e^{- 6 x} + 20 x^{3} e^{- 6 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = e^{- 6 x}$ .

$f' (x) = x^{5} \frac{d}{d x} (e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{u} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- 6 x$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (- 6 x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} (- 6 \cdot 1)) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f' (x) = x^{5} (e^{- 6 x} \cdot - 6) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $e^{- 6 x}$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 \cdot e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} \frac{d}{d x} (x^{5})$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f' (x) = x^{5} (- 6 e^{- 6 x}) + e^{- 6 x} (5 x^{4})$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = - 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i fattori in $- 6 e^{- 6 x} x^{5} + 5 e^{- 6 x} x^{4}$ .

$f' (x) = - 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{4} e^{- 6 x}$ da $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{4} e^{- 6 x}$ da $- 6 x^{5} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + 5 x^{4} e^{- 6 x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{4} e^{- 6 x}$ da $5 x^{4} e^{- 6 x}$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{4} e^{- 6 x}$ da $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x) + x^{4} e^{- 6 x} (5)$ .

$x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{4} = 0$

$e^{- 6 x} = 0$

$- 6 x + 5 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{4}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{4}$ uguale a $0$ .

$x^{4} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{4} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[4]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt[4]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{4}$ .

$x = \pm \sqrt[4]{0^{4}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{- 6 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{- 6 x}$ uguale a $0$ .

$e^{- 6 x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{- 6 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- 6 x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- 6 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $- 6 x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $- 6 x + 5$ uguale a $0$ .

$- 6 x + 5 = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $- 6 x + 5 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 x = - 5$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 x = - 5$ .

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 x}{- 6} = \frac{- 5}{- 6}$

Passaggio 5.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{- 6}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{5}{6}$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{4} e^{- 6 x} (- 6 x + 5) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{5}{6}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$36 {(0)}^{5} e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$36 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $36$ per $0$ .

$0 e^{- 6 \cdot 0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 e^{0} - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 60 {(0)}^{4} e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.6

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 60 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $- 60$ per $0$ .

$0 + 0 e^{- 6 \cdot 0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.9

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 20 {(0)}^{3} e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.11

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 20 \cdot 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $20$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- 6 \cdot 0}$

Passaggio 9.1.13

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Passaggio 9.1.14

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Passaggio 9.1.15

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

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Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{5}{6}) \cup (\frac{5}{6}, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 6 {(- 2)}^{5} e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 2) = - 6 \cdot (- 32 e^{- 6 \cdot - 2}) + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $- 32$ .

$f' (- 2) = 192 e^{- 6 \cdot - 2} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 {(- 2)}^{4} e^{- 6 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 5 \cdot (16 e^{- 6 \cdot - 2})$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $5$ per $16$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{- 6 \cdot - 2}$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = 192 e^{12} + 80 e^{12}$

Passaggio 10.2.2.2

Somma $192 e^{12}$ e $80 e^{12}$ .

$f' (- 2) = 272 e^{12}$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $272 e^{12}$ .

$272 e^{12}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0.42$ , dall'intervallo $(0, \frac{5}{6})$ nella derivata prima $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.42$ nell'espressione.

$f' (0.42) = - 6 {(0.42)}^{5} e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $0.42$ alla potenza di $5$ .

$f' (0.42) = - 6 \cdot (0.01306912 e^{- 6 \cdot 0.42}) + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0.01306912$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 6 \cdot 0.42} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 e^{- 2.52} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.07841473 \frac{1}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.5

$- 0.07841473$ e $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = \frac{- 0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{e^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.7

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{{2.71828182}^{2.52}} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.8

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2.52$ .

$f' (0.42) = - \frac{0.07841473}{12.42859666} + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.9

Dividi $0.07841473$ per $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 1 \cdot 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.10

Moltiplica $- 1$ per $0.00630921$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 {(0.42)}^{4} e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.11

Eleva $0.42$ alla potenza di $4$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 5 \cdot (0.03111696 e^{- 6 \cdot 0.42})$

Passaggio 10.3.2.1.12

Moltiplica $5$ per $0.03111696$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 6 \cdot 0.42}$

Passaggio 10.3.2.1.13

Moltiplica $- 6$ per $0.42$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 e^{- 2.52}$

Passaggio 10.3.2.1.14

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.1555848 (\frac{1}{e^{2.52}})$

Passaggio 10.3.2.1.15

$0.1555848$ e $\frac{1}{e^{2.52}}$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{e^{2.52}}$

Passaggio 10.3.2.1.16

Sostituisci $e$ con un'approssimazione.

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{{2.71828182}^{2.52}}$

Passaggio 10.3.2.1.17

Eleva $2.71828182$ alla potenza di $2.52$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + \frac{0.1555848}{12.42859666}$

Passaggio 10.3.2.1.18

Dividi $0.1555848$ per $12.42859666$ .

$f' (0.42) = - 0.00630921 + 0.01251829$

Passaggio 10.3.2.2

Somma $- 0.00630921$ e $0.01251829$ .

$f' (0.42) = 0.00620907$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $0.00620907$ .

$0.00620907$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $3$ , dall'intervallo $(\frac{5}{6}, \infty)$ nella derivata prima $- 6 x^{5} e^{- 6 x} + 5 x^{4} e^{- 6 x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

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Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$f' (3) = - 6 {(3)}^{5} e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$f' (3) = - 6 \cdot (243 e^{- 6 \cdot 3}) + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $- 6$ per $243$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 6 \cdot 3} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f' (3) = - 1458 e^{- 18} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - 1458 \frac{1}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.5

$- 1458$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = \frac{- 1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 {(3)}^{4} e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.7

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 5 \cdot (81 e^{- 6 \cdot 3})$

Passaggio 10.4.2.1.8

Moltiplica $5$ per $81$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 6 \cdot 3}$

Passaggio 10.4.2.1.9

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 e^{- 18}$

Passaggio 10.4.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + 405 (\frac{1}{e^{18}})$

Passaggio 10.4.2.1.11

$405$ e $\frac{1}{e^{18}}$ .

$f' (3) = - \frac{1458}{e^{18}} + \frac{405}{e^{18}}$

Passaggio 10.4.2.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 10.4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (3) = \frac{- 1458 + 405}{e^{18}}$

Passaggio 10.4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.2.1

Somma $- 1458$ e $405$ .

$f' (3) = \frac{- 1053}{e^{18}}$

Passaggio 10.4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (3) = - \frac{1053}{e^{18}}$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- \frac{1053}{e^{18}}$ .

$- \frac{1053}{e^{18}}$

Passaggio 10.5

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = \frac{5}{6}$ , allora $x = \frac{5}{6}$ è un massimo locale.

$x = \frac{5}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 11