Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} e^{x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4} e^{x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{4} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3} e^{x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 (x^{3} e^{x}) + 4 (e^{x} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3}) + 4 x^{3} e^{x} + 12 (e^{x} (x^{2}))$

Passaggio 2.4.2.2

Somma $e^{x} (4 x^{3})$ e $4 x^{3} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Somma $4 x^{3} e^{x}$ e $4 x^{3} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 e^{x} x^{2}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x^{4} + 8 e^{x} x^{3} + 12 e^{x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{x} + 8 x^{3} e^{x} + 12 x^{2} e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + e^{x} (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{4} + 4 e^{x} x^{3}$ .

$f' (x) = x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x^{3} e^{x}$ da $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x^{3} e^{x}$ da $x^{4} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + 4 x^{3} e^{x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x^{3} e^{x}$ da $4 x^{3} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x^{3} e^{x}$ da $x^{3} e^{x} (x) + x^{3} e^{x} (4)$ .

$x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x + 4$ uguale a $0$ .

$x + 4 = 0$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 4$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{3} e^{x} (x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, - 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(0)}^{4} e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{0} + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 8 {(0)}^{3} e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.4

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 8 \cdot 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $8$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 9.1.8

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{0}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Passaggio 9.1.10

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Passaggio 9.1.11

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 6$ , dall'intervallo $(- \infty, - 4)$ nella derivata prima $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{4} e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 6) = 1296 e^{- 6} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = 1296 (\frac{1}{e^{6}}) + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Passaggio 10.2.2.1.3

$1296$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(- 6)}^{3} e^{- 6}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (- 216 e^{- 6})$

Passaggio 10.2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $- 216$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 e^{- 6}$

Passaggio 10.2.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - 864 \frac{1}{e^{6}}$

Passaggio 10.2.2.1.7

$- 864$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} + \frac{- 864}{e^{6}}$

Passaggio 10.2.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 6) = \frac{1296}{e^{6}} - \frac{864}{e^{6}}$

Passaggio 10.2.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 6) = \frac{1296 - 864}{e^{6}}$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sottrai $864$ da $1296$ .

$f' (- 6) = \frac{432}{e^{6}}$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $\frac{432}{e^{6}}$ .

$\frac{432}{e^{6}}$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- 4, 0)$ nella derivata prima $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{4} e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = 16 e^{- 2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = 16 (\frac{1}{e^{2}}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Passaggio 10.3.2.1.3

$16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- 2}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (- 8 e^{- 2})$

Passaggio 10.3.2.1.5

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 e^{- 2}$

Passaggio 10.3.2.1.6

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - 32 \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.1.7

$- 32$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} + \frac{- 32}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = \frac{16}{e^{2}} - \frac{32}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (- 2) = \frac{16 - 32}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.2.1

Sottrai $32$ da $16$ .

$f' (- 2) = \frac{- 16}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (- 2) = - \frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- \frac{16}{e^{2}}$ .

$- \frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $x^{4} e^{x} + 4 x^{3} e^{x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = {(2)}^{4} e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 {(2)}^{3} e^{2}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 4 \cdot (8 e^{2})$

Passaggio 10.4.2.1.3

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = 16 e^{2} + 32 e^{2}$

Passaggio 10.4.2.2

Somma $16 e^{2}$ e $32 e^{2}$ .

$f' (2) = 48 e^{2}$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $48 e^{2}$ .

$48 e^{2}$

Passaggio 10.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = - 4$ , allora $x = - 4$ è un massimo locale.

$x = - 4$ è un massimo locale

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} e^{x}$ .

$x = - 4$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = - 4$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11