Calcolo Esempi

$f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(x - 12)}^{2}$ come $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Passaggio 1.2

Espandi $(x - 12) (x - 12)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 24 x + 144$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.3

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.5

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.6

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.7

Somma $2 x - 24$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Passaggio 1.5.9

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Passaggio 1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Passaggio 1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.3

Sposta $- 24$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.4.3

Somma $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.5

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.6.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.7

Moltiplica $4$ per $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.8

Somma $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 1.6.4.9

Sottrai $96 x^{4}$ da $- 24 x^{4}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 120 x^{4}] + \frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{5}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$f'' (x) = 6 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $5$ per $6$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 120 x^{4}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 120 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 120 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 120 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 120 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 120$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + \frac{d}{d x} (576 x^{3})$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [576 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $576$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $576 x^{3}$ rispetto a $x$ è $576 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 576 (3 x^{2})$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $3$ per $576$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 480 x^{3} + 1728 x^{2}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Riscrivi ${(x - 12)}^{2}$ come $(x - 12) (x - 12)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} ((x - 12) (x - 12))]$

Passaggio 4.1.2

Espandi $(x - 12) (x - 12)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x (x - 12) - 12 (x - 12))]$

Passaggio 4.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 (x - 12))]$

Passaggio 4.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x \cdot x + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 4.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} + x \cdot - 12 - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 4.1.3.1.2

Sposta $- 12$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 \cdot x - 12 x - 12 \cdot - 12)]$

Passaggio 4.1.3.1.3

Moltiplica $- 12$ per $- 12$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 12 x - 12 x + 144)]$

Passaggio 4.1.3.2

Sottrai $12 x$ da $- 12 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} (x^{2} - 24 x + 144)]$

Passaggio 4.1.4

$x^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} - 24 x + 144] + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 24 x + 144$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]$ .

$x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.3

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (2 x - 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (2 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.5

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$x^{4} (2 x - 24 + \frac{d}{d x} [144]) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.6

Poiché $144$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $144$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{4} (2 x - 24 + 0) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.7

Somma $2 x - 24$ e $0$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 4.1.5.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (2 x - 24) + (x^{2} - 24 x + 144) (4 x^{3})$

Passaggio 4.1.5.9

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} - 24 x + 144$ .

$x^{4} (2 x - 24) + 4 \cdot (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 (x^{2} - 24 x + 144) x^{3}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + (4 x^{2} + 4 (- 24 x) + 4 \cdot 144) x^{3}$

Passaggio 4.1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{4} (2 x) + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1

Moltiplica $x^{4}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 4} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.1.3

Somma $1$ e $4$ .

$x^{5} \cdot 2 + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{5}$ .

$2 \cdot x^{5} + x^{4} \cdot - 24 + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.3

Sposta $- 24$ alla sinistra di $x^{4}$ .

$2 x^{5} - 24 \cdot x^{4} + 4 x^{2} x^{3} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.4.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{3 + 2} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.4.3

Somma $3$ e $2$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} + 4 (- 24 x) x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.5

Moltiplica $- 24$ per $4$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x \cdot x^{3} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.6

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.6.1

Sposta $x^{3}$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.6.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.4.6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{3 + 1} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.6.3

Somma $3$ e $1$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 4 \cdot 144 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.7

Moltiplica $4$ per $144$ .

$2 x^{5} - 24 x^{4} + 4 x^{5} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.8

Somma $2 x^{5}$ e $4 x^{5}$ .

$6 x^{5} - 24 x^{4} - 96 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 4.1.6.4.9

Sottrai $96 x^{4}$ da $- 24 x^{4}$ .

$f' (x) = 6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6 x^{3}$ da $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $6 x^{3}$ da $6 x^{5}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) - 120 x^{4} + 576 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $6 x^{3}$ da $- 120 x^{4}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 576 x^{3} = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $6 x^{3}$ da $576 x^{3}$ .

$6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $6 x^{3}$ da $6 x^{3} (x^{2}) + 6 x^{3} (- 20 x)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96) = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $6 x^{3}$ da $6 x^{3} (x^{2} - 20 x) + 6 x^{3} (96)$ .

$6 x^{3} (x^{2} - 20 x + 96) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 20 x + 96$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $96$ e la cui somma è $- 20$ .

$- 12, - 8$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$6 x^{3} ((x - 12) (x - 8)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 12 = 0$

$x - 8 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 12$ uguale a $0$ .

$x - 12 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 12$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x^{3} (x - 12) (x - 8) = 0$ vera.

$x = 0, 12, 8$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 12, 8$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$30 {(0)}^{4} - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$30 \cdot 0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $30$ per $0$ .

$0 - 480 {(0)}^{3} + 1728 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 480 \cdot 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 480$ per $0$ .

$0 + 0 + 1728 {(0)}^{2}$

Passaggio 9.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 1728 \cdot 0$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $1728$ per $0$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 8) \cup (8, 12) \cup (12, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = 6 {(- 2)}^{5} - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $5$ .

$f' (- 2) = 6 \cdot - 32 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 32$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 {(- 2)}^{4} + 576 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.3

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = - 192 - 120 \cdot 16 + 576 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $16$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 {(- 2)}^{3}$

Passaggio 10.2.2.1.5

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 + 576 \cdot - 8$

Passaggio 10.2.2.1.6

Moltiplica $576$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 192 - 1920 - 4608$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $1920$ da $- 192$ .

$f' (- 2) = - 2112 - 4608$

Passaggio 10.2.2.2.2

Sottrai $4608$ da $- 2112$ .

$f' (- 2) = - 6720$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 6720$ .

$- 6720$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(0, 8)$ nella derivata prima $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = 6 {(4)}^{5} - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$f' (4) = 6 \cdot 1024 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.2

Moltiplica $6$ per $1024$ .

$f' (4) = 6144 - 120 {(4)}^{4} + 576 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f' (4) = 6144 - 120 \cdot 256 + 576 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $256$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 {(4)}^{3}$

Passaggio 10.3.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 576 \cdot 64$

Passaggio 10.3.2.1.6

Moltiplica $576$ per $64$ .

$f' (4) = 6144 - 30720 + 36864$

Passaggio 10.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.2.1

Sottrai $30720$ da $6144$ .

$f' (4) = - 24576 + 36864$

Passaggio 10.3.2.2.2

Somma $- 24576$ e $36864$ .

$f' (4) = 12288$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $12288$ .

$12288$

Passaggio 10.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $10$ , dell'intervallo $(8, 12)$ nella derivata prima $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $10$ nell'espressione.

$f' (10) = 6 {(10)}^{5} - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Passaggio 10.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1.1

Eleva $10$ alla potenza di $5$ .

$f' (10) = 6 \cdot 100000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.2

Moltiplica $6$ per $100000$ .

$f' (10) = 600000 - 120 {(10)}^{4} + 576 {(10)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.3

Eleva $10$ alla potenza di $4$ .

$f' (10) = 600000 - 120 \cdot 10000 + 576 {(10)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $10000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 {(10)}^{3}$

Passaggio 10.4.2.1.5

Eleva $10$ alla potenza di $3$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576 \cdot 1000$

Passaggio 10.4.2.1.6

Moltiplica $576$ per $1000$ .

$f' (10) = 600000 - 1200000 + 576000$

Passaggio 10.4.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.2.1

Sottrai $1200000$ da $600000$ .

$f' (10) = - 600000 + 576000$

Passaggio 10.4.2.2.2

Somma $- 600000$ e $576000$ .

$f' (10) = - 24000$

Passaggio 10.4.2.3

La risposta finale è $- 24000$ .

$- 24000$

Passaggio 10.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $14$ , dell'intervallo $(12, \infty)$ nella derivata prima $6 x^{5} - 120 x^{4} + 576 x^{3}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $14$ nell'espressione.

$f' (14) = 6 {(14)}^{5} - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Passaggio 10.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1.1

Eleva $14$ alla potenza di $5$ .

$f' (14) = 6 \cdot 537824 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.2

Moltiplica $6$ per $537824$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 {(14)}^{4} + 576 {(14)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.3

Eleva $14$ alla potenza di $4$ .

$f' (14) = 3226944 - 120 \cdot 38416 + 576 {(14)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.4

Moltiplica $- 120$ per $38416$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 {(14)}^{3}$

Passaggio 10.5.2.1.5

Eleva $14$ alla potenza di $3$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 576 \cdot 2744$

Passaggio 10.5.2.1.6

Moltiplica $576$ per $2744$ .

$f' (14) = 3226944 - 4609920 + 1580544$

Passaggio 10.5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.2.1

Sottrai $4609920$ da $3226944$ .

$f' (14) = - 1382976 + 1580544$

Passaggio 10.5.2.2.2

Somma $- 1382976$ e $1580544$ .

$f' (14) = 197568$

Passaggio 10.5.2.3

La risposta finale è $197568$ .

$197568$

Passaggio 10.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 10.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 8$ , allora $x = 8$ è un massimo locale.

$x = 8$ è un massimo locale

Passaggio 10.8

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 12$ , allora $x = 12$ è un minimo locale.

$x = 12$ è un minimo locale

Passaggio 10.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} {(x - 12)}^{2}$ .

$x = 0$ è un minimo locale

$x = 8$ è un massimo locale

$x = 12$ è un minimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = 8$ è un massimo locale

$x = 12$ è un minimo locale

Passaggio 11