Calcolo Esempi

$f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$ .

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 1.4.2

Poiché $36 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Passaggio 1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Passaggio 1.5.3

Somma $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + y = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

$\frac{d}{d x} [18] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $18$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 x + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 x + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $y$ per $1$ .

$0 - 2 x + y + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + \frac{d}{d x} [36 y]$

Passaggio 4.1.4.2

Poiché $36 y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $36 y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 2 x + y + 0 + 0$

Passaggio 4.1.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x + y + 0 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 2 x + y$ e $0$ .

$- 2 x + y + 0$

Passaggio 4.1.5.3

Somma $- 2 x + y$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x + y$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + y$ .

$- 2 x + y$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + y = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - y$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - y$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- y}{- 2}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y}{- 2}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{y}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{y}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{y}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2$

Passaggio 9

$x = \frac{y}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{y}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 10

Trova il valore di y quando $x = \frac{y}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{y}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - {(\frac{y}{2})}^{2} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{y}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{2^{2}} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + (\frac{y}{2}) \cdot y - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.3

Moltiplica $(\frac{y}{2}) y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1.3.1

$\frac{y}{2}$ e $y$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.3.2

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.3.3

Eleva $y$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y \cdot y}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.3.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{1 + 1}}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.1.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.2

Per scrivere $\frac{y^{2}}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Moltiplica $\frac{y^{2}}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 - \frac{y^{2}}{4} + \frac{y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + y^{2} \cdot 2}{4} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.5

Somma $- y^{2}$ e $y^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.5.1

Riordina $y^{2}$ e $2$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{- y^{2} + 2 \cdot y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.5.2

Somma $- y^{2}$ e $2 \cdot y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} + 36 y$

Passaggio 10.2.6

Per scrivere $- y^{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} - y^{2} \cdot \frac{4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.7

$- y^{2}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2}}{4} + \frac{- y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{y}{2}) = 18 + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.9

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.9.1

Scrivi $18$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.9.2

Moltiplica $\frac{18}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.9.3

Moltiplica $\frac{18}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + 36 y$

Passaggio 10.2.9.4

Scrivi $36 y$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1}$

Passaggio 10.2.9.5

Moltiplica $\frac{36 y}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 10.2.9.6

Moltiplica $\frac{36 y}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4}{4} + \frac{y^{2} - y^{2} \cdot 4}{4} + \frac{36 y \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.2.10

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.10.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{18 \cdot 4 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.2.10.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.10.2.1

Moltiplica $18$ per $4$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - y^{2} \cdot 4 + 36 y \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.2.10.2.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 36 y \cdot 4}{4}$

Passaggio 10.2.10.2.3

Moltiplica $4$ per $36$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 + y^{2} - 4 y^{2} + 144 y}{4}$

Passaggio 10.2.10.3

Sottrai $4 y^{2}$ da $y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{72 - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Passaggio 10.2.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.11.1

Scomponi $3$ da $72 - 3 y^{2} + 144 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.11.1.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) - 3 y^{2} + 144 y}{4}$

Passaggio 10.2.11.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 144 y}{4}$

Passaggio 10.2.11.1.3

Scomponi $3$ da $144 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24) + 3 (- y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Passaggio 10.2.11.1.4

Scomponi $3$ da $3 (24) + 3 (- y^{2})$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)}{4}$

Passaggio 10.2.11.1.5

Scomponi $3$ da $3 (24 - y^{2}) + 3 (48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (24 - y^{2} + 48 y)}{4}$

Passaggio 10.2.11.2

Riordina i termini.

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- y^{2} + 48 y + 24)}{4}$

Passaggio 10.2.12

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.12.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{2}$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) + 48 y + 24)}{4}$

Passaggio 10.2.12.2

Scomponi $- 1$ da $48 y$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2}) - (- 48 y) + 24)}{4}$

Passaggio 10.2.12.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2}) - (- 48 y)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) + 24)}{4}$

Passaggio 10.2.12.4

Riscrivi $24$ come $- 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y) - 1 \cdot - 24)}{4}$

Passaggio 10.2.12.5

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} - 48 y) - 1 (- 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Passaggio 10.2.12.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.12.6.1

Riscrivi $- (y^{2} - 48 y - 24)$ come $- 1 (y^{2} - 48 y - 24)$ .

$f (\frac{y}{2}) = \frac{3 (- 1 (y^{2} - 48 y - 24))}{4}$

Passaggio 10.2.12.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{y}{2}) = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Passaggio 10.2.13

La risposta finale è $- \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$ .

$y = - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4}$

Passaggio 11

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 18 - x^{2} + x y - y^{2} + 36 y$ .

$(\frac{y}{2}, - \frac{3 (y^{2} - 48 y - 24)}{4})$ è un massimo locale

Passaggio 12