Calcolo Esempi

$f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{x}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$0 + 7 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 1.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 1.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Passaggio 1.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 1.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 1.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

Passaggio 1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

$- 7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.3.3

Sottrai $\frac{7}{x^{2}}$ da $0$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + 16 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.4.3.4

$16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{7}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{7}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{7}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 7 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 7 (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - 7 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 7 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 7 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - 7 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 7$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (\frac{16}{x^{3}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{16}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $16$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{16}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $16 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 \frac{d}{d x} ({(x^{3})}^{- 1})$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{3})$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- x^{- 6} (3 x^{2}))$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 6} x^{2})$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 (x^{2} x^{- 6}))$

Passaggio 2.3.7.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{2 - 6})$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} + 16 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 3$ per $16$ .

$f'' (x) = 14 x^{- 3} - 48 x^{- 4}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 x^{- 4}$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 14 (\frac{1}{x^{3}}) - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

$14$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - 48 \frac{1}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3.2

$- 48$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} + \frac{- 48}{x^{4}}$

Passaggio 2.4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{14}{x^{3}} - \frac{48}{x^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{7}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{7}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{7}{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7}{x}$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 + 7 \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 + 7 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{8}{x^{2}})$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8}{x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8}{x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 4.1.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1}$

Passaggio 4.1.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Passaggio 4.1.3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2})$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Passaggio 4.1.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.5.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Passaggio 4.1.3.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- x^{- 4} (2 x))$

Passaggio 4.1.3.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 4} x)$

Passaggio 4.1.3.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 (x \cdot x^{- 4}))$

Passaggio 4.1.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{1 - 4})$

Passaggio 4.1.3.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} - 8 (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 4.1.3.10

Moltiplica $- 2$ per $- 8$ .

$f' (x) = 0 - 7 x^{- 2} + 16 x^{- 3}$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 x^{- 3}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - 7 \frac{1}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

$- 7$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = 0 + \frac{- 7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.4.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (x) = 0 - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.4.3.3

Sottrai $\frac{7}{x^{2}}$ da $0$ .

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + 16 (\frac{1}{x^{3}})$

Passaggio 4.1.4.3.4

$16$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f' (x) = - \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$

Passaggio 5.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$x^{2}, x^{3}, 1$

Passaggio 5.2.2

Since $x^{2}, x^{3}, 1$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{2}, x^{3}$ .

Passaggio 5.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 5.2.4

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 5.2.5

Il minimo comune multiplo di $1, 1, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$1$

Passaggio 5.2.6

I fattori di $x^{2}$ sono $x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $2$ volte.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ si verifica $2$ volte.

Passaggio 5.2.7

I fattori di $x^{3}$ sono $x \cdot x \cdot x$ , che corrisponde a $x$ moltiplicato per i fattori $3$ volte.

$x^{3} = x \cdot x \cdot x$

$x$ si verifica $3$ volte.

Passaggio 5.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{2}, x^{3}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x \cdot x \cdot x$

Passaggio 5.2.9

Semplifica $x \cdot x \cdot x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} \cdot x$

Passaggio 5.2.9.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.2.1

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.9.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{2} \cdot x^{1}$

Passaggio 5.2.9.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{2 + 1}$

Passaggio 5.2.9.2.2

Somma $2$ e $1$ .

$x^{3}$

Passaggio 5.3

Moltiplica per $x^{3}$ ciascun termine in $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{7}{x^{2}} + \frac{16}{x^{3}} = 0$ per $x^{3}$ .

$- \frac{7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{7}{x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 7}{x^{2}} x^{3} + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.2

Scomponi $x^{2}$ da $x^{3}$ .

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7}{x^{2}} (x^{2} x) + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- 7 x + \frac{16}{x^{3}} x^{3} = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- 7 x + 16 = 0 x^{3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $0$ per $x^{3}$ .

$- 7 x + 16 = 0$

Passaggio 5.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 7 x = - 16$

Passaggio 5.4.2

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 16$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Dividi per $- 7$ ciascun termine in $- 7 x = - 16$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Passaggio 5.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 16}{- 7}$

Passaggio 5.4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 16}{- 7}$

Passaggio 5.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{16}{7}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{7}{x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.3

Imposta il denominatore in $\frac{16}{x^{3}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.4.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.4.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{16}{7}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{16}{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{14}{{(\frac{16}{7})}^{3}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{16}{7}$ .

$\frac{14}{\frac{16^{3}}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.2

Eleva $16$ alla potenza di $3$ .

$\frac{14}{\frac{4096}{7^{3}}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $3$ .

$\frac{14}{\frac{4096}{343}} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$14 (\frac{343}{4096}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$2 (7) \frac{343}{4096} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.3.2

Scomponi $2$ da $4096$ .

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 7 \frac{343}{2 \cdot 2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$7 (\frac{343}{2048}) - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.4

$7$ e $\frac{343}{2048}$ .

$\frac{7 \cdot 343}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $7$ per $343$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{{(\frac{16}{7})}^{4}}$

Passaggio 9.1.6

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.6.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{16}{7}$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{16^{4}}{7^{4}}}$

Passaggio 9.1.6.2

Eleva $16$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{7^{4}}}$

Passaggio 9.1.6.3

Eleva $7$ alla potenza di $4$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{48}{\frac{65536}{2401}}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2401}{2048} - (48 (\frac{2401}{65536}))$

Passaggio 9.1.8

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.8.1

Scomponi $16$ da $48$ .

$\frac{2401}{2048} - (16 (3) \frac{2401}{65536})$

Passaggio 9.1.8.2

Scomponi $16$ da $65536$ .

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

Passaggio 9.1.8.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2401}{2048} - (16 \cdot 3 \frac{2401}{16 \cdot 4096})$

Passaggio 9.1.8.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2401}{2048} - (3 (\frac{2401}{4096}))$

Passaggio 9.1.9

$3$ e $\frac{2401}{4096}$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{3 \cdot 2401}{4096}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $3$ per $2401$ .

$\frac{2401}{2048} - \frac{7203}{4096}$

Passaggio 9.2

Per scrivere $\frac{2401}{2048}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2401}{2048} \cdot \frac{2}{2} - \frac{7203}{4096}$

Passaggio 9.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4096$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica $\frac{2401}{2048}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2401 \cdot 2}{2048 \cdot 2} - \frac{7203}{4096}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $2048$ per $2$ .

$\frac{2401 \cdot 2}{4096} - \frac{7203}{4096}$

Passaggio 9.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2401 \cdot 2 - 7203}{4096}$

Passaggio 9.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.5.1

Moltiplica $2401$ per $2$ .

$\frac{4802 - 7203}{4096}$

Passaggio 9.5.2

Sottrai $7203$ da $4802$ .

$\frac{- 2401}{4096}$

Passaggio 9.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2401}{4096}$

Passaggio 10

$x = \frac{16}{7}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{16}{7}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{16}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{16}{7}$ nell'espressione.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7}{\frac{16}{7}} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + 7 (\frac{7}{16}) - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $7 (\frac{7}{16})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

$7$ e $\frac{7}{16}$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{7 \cdot 7}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2.2

Moltiplica $7$ per $7$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{{(\frac{16}{7})}^{2}}$

Passaggio 11.2.1.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{16}{7}$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{16^{2}}{7^{2}}}$

Passaggio 11.2.1.3.2

Eleva $16$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{7^{2}}}$

Passaggio 11.2.1.3.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{8}{\frac{256}{49}}$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{256}))$

Passaggio 11.2.1.5

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.5.1

Scomponi $8$ da $256$ .

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 (32)}))$

Passaggio 11.2.1.5.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - (8 (\frac{49}{8 \cdot 32}))$

Passaggio 11.2.1.5.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{16}{7}) = 1 + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{1}{1} \cdot \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{32}{32}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{49}{16}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49}{16} \cdot \frac{2}{2} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{49}{16}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{16 \cdot 2} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.6

Riordina i fattori di $16 \cdot 2$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{2 \cdot 16} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $2$ per $16$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32}{32} + \frac{49 \cdot 2}{32} - \frac{49}{32}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 49 \cdot 2 - 49}{32}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $49$ per $2$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{32 + 98 - 49}{32}$

Passaggio 11.2.4.2

Somma $32$ e $98$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{130 - 49}{32}$

Passaggio 11.2.4.3

Sottrai $49$ da $130$ .

$f (\frac{16}{7}) = \frac{81}{32}$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $\frac{81}{32}$ .

$y = \frac{81}{32}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 1 + \frac{7}{x} - \frac{8}{x^{2}}$ .

$(\frac{16}{7}, \frac{81}{32})$ è un massimo locale

Passaggio 13