Calcolo Esempi

$f (x) = 1 - x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Passaggio 1.3

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2}$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.1.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} = 0$ .

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Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 x^{2} = 0$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Passaggio 5.4.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 5.4.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 0$

Passaggio 9

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0$

Passaggio 10

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

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Passaggio 10.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- 3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2}$

Passaggio 10.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 10.2.2.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (- 2) = - 12$

Passaggio 10.2.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $- 3 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2}$

Passaggio 10.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4$

Passaggio 10.3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f' (2) = - 12$

Passaggio 10.3.2.3

La risposta finale è $- 12$ .

$- 12$

Passaggio 10.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 10.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = 1 - x^{3}$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 11