Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{3 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Riordina i termini.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Passaggio 1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2} e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{3 x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.2.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 x e^{3 x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{3 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{3 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{3 x}]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{3 x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $3 x$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \frac{d}{d x} (3 x)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} (x))) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.8

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $e^{3 x}$ per $1$ .

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x}) + e^{3 x})$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 3 (x^{2} (3 e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = 9 (x^{2} (e^{3 x})) + 3 (e^{3 x} (2 x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 (e^{3 x} (x)) + 2 (x (3 e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 e^{3 x} x + 6 (x (e^{3 x})) + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3.4

Somma $6 e^{3 x} x$ e $6 x e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Sposta $e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 6 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.3.4.2

Somma $6 x e^{3 x}$ e $6 x e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $9 e^{3 x} x^{2} + 12 e^{3 x} x + 2 e^{3 x}$ .

$f'' (x) = 9 x^{2} e^{3 x} + 12 x e^{3 x} + 2 e^{3 x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{3 x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{3 x}] + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 3 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 x$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 x$ .

$x^{2} (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x]) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x])) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{2} (e^{3 x} (3 \cdot 1)) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.3.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x^{2} (e^{3 x} \cdot 3) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3.2

Sposta $3$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$x^{2} (3 \cdot e^{3 x}) + e^{3 x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (3 e^{3 x}) + e^{3 x} (2 x)$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Riordina i termini.

$3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$

Passaggio 4.1.4.2

Riordina i fattori in $3 e^{3 x} x^{2} + 2 e^{3 x} x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $x e^{3 x}$ da $3 x^{2} e^{3 x} + 2 x e^{3 x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $x e^{3 x}$ da $3 x^{2} e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + 2 x e^{3 x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $x e^{3 x}$ da $2 x e^{3 x}$ .

$x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $x e^{3 x}$ da $x e^{3 x} (3 x) + x e^{3 x} (2)$ .

$x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{3 x} = 0$

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{3 x}$ uguale a $0$ .

$e^{3 x} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{3 x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{3 x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{3 x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $3 x + 2$ uguale a $0$ .

$3 x + 2 = 0$

Passaggio 5.6.2

Risolvi $3 x + 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 2$

Passaggio 5.6.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 2$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.6.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{3}$

Passaggio 5.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{2}{3}$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{3 x} (3 x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - \frac{2}{3}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$9 {(0)}^{2} e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$9 \cdot 0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$0 e^{3 (0)} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 e^{0} + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 12 (0) e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 + 0 e^{3 (0)} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.7

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{3 (0)}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $3$ per $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 9.1.11

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{3 (0)}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 e^{3 (0)}$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Passaggio 11.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Passaggio 11.2.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.5

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{2}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$9 {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$9 ({(- 1)}^{2} \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$9 (1 \frac{2^{2}}{3^{2}}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$9 \frac{2^{2}}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$9 \frac{4}{3^{2}} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.6

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$9 (\frac{4}{9}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$4 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.7.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.7.2

Elimina il fattore comune.

$4 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.7.3

Riscrivi l'espressione.

$4 e^{- 2} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.9

$4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (- \frac{2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.10

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.10.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{4}{e^{2}} + 12 (\frac{- 2}{3}) e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.10.2

Scomponi $3$ da $12$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 3 (4) \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.10.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{e^{2}} + 3 \cdot 4 \frac{- 2}{3} e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.10.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{e^{2}} + 4 \cdot - 2 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.11

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (- \frac{2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.12

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.12.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{3 (\frac{- 2}{3})} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.12.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.13

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.14

$- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.15

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 13.1.16

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.16.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 13.1.16.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 13.1.16.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 13.1.17

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 13.1.18

$2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Passaggio 13.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 14

$x = - \frac{2}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{2}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{2}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{2}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = {(- \frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2} e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = {(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = 1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.2.2

Moltiplica $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.2.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{3^{2}} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.2.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (- \frac{2}{3})}$

Passaggio 15.2.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 15.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{3 (\frac{- 2}{3})}$

Passaggio 15.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot e^{- 2}$

Passaggio 15.2.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9} \cdot \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 15.2.5

Combina.

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4 \cdot 1}{9 e^{2}}$

Passaggio 15.2.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (- \frac{2}{3}) = \frac{4}{9 e^{2}}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $\frac{4}{9 e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{9 e^{2}}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} e^{3 x}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(- \frac{2}{3}, \frac{4}{9 e^{2}})$ è un massimo locale

Passaggio 17