Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.8.3

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.8.4

$\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.12.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Passaggio 1.14

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Passaggio 1.15

Combina $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.15.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.15.2

Per scrivere $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.15.3

$2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.16

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.17

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.17.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.17.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.17.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.18

Semplifica $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.19.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.19.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.2.2

Somma $x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.3

Scomponi $x$ da $7 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.19.3.1

Scomponi $x$ da $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.3.2

Scomponi $x$ da $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.19.3.3

Scomponi $x$ da $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{x (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x (7 x - 12)$ e $g (x) = {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{2 \cdot 2}{3}}}$

Passaggio 2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x (7 x - 12)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 7 x - 12$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \frac{d}{d x} (7 x - 12) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $7 x - 12$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (\frac{d}{d x} (7 x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.2

Poiché $7$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $7 x$ rispetto a $x$ è $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + \frac{d}{d x} (- 12)) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.5

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x (7 + 0) + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.6.1

Somma $7$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (x \cdot 7 + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.6.2

Sposta $7$ alla sinistra di $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 \cdot x + (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + (7 x - 12) \cdot 1) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.8

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.8.1

Moltiplica $7 x - 12$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (7 x + 7 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.5.8.2

Somma $7 x$ e $7 x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) \frac{d}{d x} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.6.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.7

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.8

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.10.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.11

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3} \cdot {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.11.2

$\frac{2}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.11.3

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - x (7 x - 12) (\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x - 2))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.11.4

$\frac{2}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \frac{d}{d x} (x - 2)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.12

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.14

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot ((7 x - 12) (1 + 0))}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.15

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.15.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12) \cdot 1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.15.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.15.3

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x - 12)}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x - 12) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{{(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (14 x) + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.2

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x + {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.3

Sposta $- 12$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 \cdot {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (7 x) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5

Moltiplica $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (7 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.5.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - 7 \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.2

$- 7$ e $\frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 7 (2 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.3

Moltiplica $2$ per $- 7$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot x - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.4

$\frac{- 14 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x \cdot x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 (x \cdot x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

Passaggio 2.16.1.5.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{1 + 1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.5.8

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.6

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ nel numeratore.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.6.2

Scomponi $3$ da $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.6.3

Scomponi $3$ da $- 12$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}})} \cdot (3 (- 4))}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.6.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot (3 \cdot - 4)}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.6.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot - 4}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.7

$\frac{- 2 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ e $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 2 x \cdot - 4}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.8

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{- 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = \frac{14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.10

Sottrai $\frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ da $14 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.10.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.10.2

Per scrivere $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.10.3

$14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.10.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.11

Per scrivere $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.12

$- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.13

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.1

Scomponi $2$ da $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.1.1

Scomponi $2$ da $14 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) - 14 x^{2} - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.1.2

Scomponi $2$ da $- 14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) - 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.1.3

Scomponi $2$ da $- 12 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.1.4

Scomponi $2$ da $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})) + 2 (- 7 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.1.5

Scomponi $2$ da $2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2}) + 2 (- 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}) - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.2

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.2.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.2.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.2.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x (x - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.3

Semplifica $7 x {(x - 2)}^{1} \cdot 3$ .

Passaggio 2.16.1.14.4

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x \cdot x + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.5

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.5.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 (x \cdot x) + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.5.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} + 7 x \cdot - 2) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.6

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 ((7 x^{2} - 14 x) \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.7

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (7 x^{2} \cdot 3 - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.8

Moltiplica $3$ per $7$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 14 x \cdot 3 - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.9

Moltiplica $3$ per $- 14$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.10

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.11

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.11.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.11.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.11.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{1 + 2}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.11.4

Somma $1$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.11.5

Dividi $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.12

Semplifica $- 6 \cdot 3 {(x - 2)}^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 6 \cdot (3 (x - 2)))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.13

Moltiplica $- 6$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 (x - 2))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.14

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x - 18 \cdot - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.15

Moltiplica $- 18$ per $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (21 x^{2} - 42 x - 7 x^{2} - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.16

Sottrai $7 x^{2}$ da $21 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 42 x - 18 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.17

Sottrai $18 x$ da $- 42 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (14 x^{2} - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.18

Scomponi $2$ da $14 x^{2} - 60 x + 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.14.18.1

Scomponi $2$ da $14 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) - 60 x + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.18.2

Scomponi $2$ da $- 60 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 36)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.18.3

Scomponi $2$ da $36$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.18.4

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2}) + 2 (- 30 x)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.18.5

Scomponi $2$ da $2 (7 x^{2} - 30 x) + 2 (18)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{2 (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

$f'' (x) = \frac{\frac{2 \cdot (2 (7 x^{2} - 30 x + 18))}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.14.19

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.15

Per scrivere $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{3}{3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.16

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.16.1

Moltiplica $\frac{8 x}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.16.2

Riordina i fattori di ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.17

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.18

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.18.1

Scomponi $4$ da $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 8 x \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.1.18.1.1

Scomponi $4$ da $8 x \cdot 3$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.18.1.2

Scomponi $4$ da $4 (7 x^{2} - 30 x + 18) + 4 (2 x \cdot 3)$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 2 x \cdot 3)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.18.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 30 x + 18 + 6 x)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.1.18.3

Somma $- 30 x$ e $6 x$ .

$f'' (x) = \frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.2.1

Riscrivi $\frac{\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ come un prodotto.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} \cdot \frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.2.2

Moltiplica $\frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ per $\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{3 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})}$

Passaggio 2.16.2.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 2.16.2.4

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.16.2.4.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 ({(x - 2)}^{\frac{4}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}$

Passaggio 2.16.2.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}}}$

Passaggio 2.16.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{4 + 1}{3}}}$

Passaggio 2.16.2.4.4

Somma $4$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{4 (7 x^{2} - 24 x + 18)}{9 {(x - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 2}$ come ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 4.1.2

$x^{2} \frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 2$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} (\frac{1}{3} {(x - 2)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{2} (\frac{{(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.8.3

Sposta ${(x - 2)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.8.4

$\frac{1}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 2] + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.10

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.11

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} (1 + 0) + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.12

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.12.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.12.2

Moltiplica $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (2 x)$

Passaggio 4.1.14

Sposta $2$ alla sinistra di ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 \cdot {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$

Passaggio 4.1.15

Combina $\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ e $2 {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} x$ usando un comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.15.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 4.1.15.2

Per scrivere $2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.15.3

$2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x^{2}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.15.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 2 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} (3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.16

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.17

Moltiplica ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ per ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.17.1

Sposta ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x ({(x - 2)}^{\frac{2}{3}} {(x - 2)}^{\frac{1}{3}})}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2}{3} + \frac{1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{2 + 1}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.4

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.17.5

Dividi $3$ per $3$ .

$\frac{x^{2} + 6 x {(x - 2)}^{1}}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.18

Semplifica $6 x {(x - 2)}^{1}$ .

$\frac{x^{2} + 6 x (x - 2)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.19.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{2} + 6 x \cdot x + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.19.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.19.2.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 (x \cdot x) + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.2.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} + 6 x \cdot - 2}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $6$ .

$\frac{x^{2} + 6 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.2.2

Somma $x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{7 x^{2} - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.3

Scomponi $x$ da $7 x^{2} - 12 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.19.3.1

Scomponi $x$ da $7 x^{2}$ .

$\frac{x (7 x) - 12 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.3.2

Scomponi $x$ da $- 12 x$ .

$\frac{x (7 x) + x \cdot - 12}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.1.19.3.3

Scomponi $x$ da $x (7 x) + x \cdot - 12$ .

$f' (x) = \frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 5.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$x (7 x - 12) = 0$

Passaggio 5.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$7 x - 12 = 0$

Passaggio 5.3.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.3.3

Imposta $7 x - 12$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Imposta $7 x - 12$ uguale a $0$ .

$7 x - 12 = 0$

Passaggio 5.3.3.2

Risolvi $7 x - 12 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Somma $12$ a entrambi i lati dell'equazione.

$7 x = 12$

Passaggio 5.3.3.2.2

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 12$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.1

Dividi per $7$ ciascun termine in $7 x = 12$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7 x}{7} = \frac{12}{7}$

Passaggio 5.3.3.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{12}{7}$

Passaggio 5.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (7 x - 12) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{12}{7}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$

Passaggio 6.2

Imposta il denominatore in $\frac{x (7 x - 12)}{3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 6.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al cubo entrambi i lati dell'equazione.

${(3 \sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{{(x - 2)}^{2}}$ come ${(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1

Semplifica ${(3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$27 {({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 2)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$27 {(x - 2)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$27 {(x - 2)}^{2} = 0^{3}$

Passaggio 6.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$27 {(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.1

Dividi per $27$ ciascun termine in $27 {(x - 2)}^{2} = 0$ .

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune di $27$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{27 {(x - 2)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.2.1.2

Dividi ${(x - 2)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 2)}^{2} = \frac{0}{27}$

Passaggio 6.3.3.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1.3.1

Dividi $0$ per $27$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3.3.2

Poni $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 6.3.3.3

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{12}{7}, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (7 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {((0) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (7 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $7$ per $0$ .

$\frac{4 (0 - 24 \cdot 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$\frac{4 (0 + 0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.4

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{4 (0 + 18)}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.1.5

Somma $0$ e $18$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(0 - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $2$ da $0$ .

$\frac{4 \cdot 18}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2.2

Moltiplica $4$ per $18$ .

$\frac{72}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.2.3

Scomponi $9$ da $72$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.3

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Scomponi $9$ da $9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 \cdot 8}{9 ({(- 2)}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 9.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 \cdot 8}{9 {(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 9.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8}{{(- 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} \sqrt[3]{(0) - 2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{(0) - 2}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $2$ da $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 2}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi $- 2$ come ${(- 1)}^{3} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{- 1 \cdot 2}$

Passaggio 11.2.3.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 2}$

Passaggio 11.2.4

Estrai i termini dal radicale.

$f (0) = 0 (- 1 \sqrt[3]{2})$

Passaggio 11.2.5

Riscrivi $- 1 \sqrt[3]{2}$ come $- \sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0 (- \sqrt[3]{2})$

Passaggio 11.2.6

Moltiplica $0 (- \sqrt[3]{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 \sqrt[3]{2}$

Passaggio 11.2.6.2

Moltiplica $0$ per $\sqrt[3]{2}$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.7

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{12}{7}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (7 {(\frac{12}{7})}^{2} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {((\frac{12}{7}) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (7 \frac{12^{2}}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7^{2}} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 (7 (\frac{144}{49}) - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.4

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.4.1

Scomponi $7$ da $49$ .

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 (7)} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (7 \frac{144}{7 \cdot 7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - 24 (\frac{12}{7}) + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.5

Moltiplica $- 24 (\frac{12}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

$- 24$ e $\frac{12}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 24 \cdot 12}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.5.2

Moltiplica $- 24$ per $12$ .

$\frac{4 (\frac{144}{7} + \frac{- 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 (\frac{144}{7} - \frac{288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 (\frac{144 - 288}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.8

Sottrai $288$ da $144$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18)}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.9

Per scrivere $18$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + 18 \cdot \frac{7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.10

$18$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{4 (\frac{- 144}{7} + \frac{18 \cdot 7}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 \frac{- 144 + 18 \cdot 7}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.12.1

Moltiplica $18$ per $7$ .

$\frac{4 \frac{- 144 + 126}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.12.2

Somma $- 144$ e $126$ .

$\frac{4 (\frac{- 18}{7})}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.14

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.14.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$\frac{- (4 (\frac{18}{7}))}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.14.2

$4$ e $\frac{18}{7}$ .

$\frac{- \frac{4 \cdot 18}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.1.14.3

Moltiplica $4$ per $18$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.2

$- 2$ e $\frac{7}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 2 \cdot 7}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.4.1

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{12 - 14}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.4.2

Sottrai $14$ da $12$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(\frac{- 2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 {(- \frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.2.6

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.6.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} {(\frac{2}{7})}^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 13.2.6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{7}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.2.7

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.2.8

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.2.9

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.9.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.2.9.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 ({(- 1)}^{5} \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.2.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{9 (- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}})}$

Passaggio 13.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.3.1

Moltiplica $- 1$ per $9$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{- 9 \frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 13.3.2

$- 9$ e $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{- \frac{72}{7}}{\frac{- 9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 13.4

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{- \frac{72}{7}}{- \frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 13.4.2

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{72}{7}}{\frac{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{5}{3}}}}$

Passaggio 13.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{72}{7} \cdot \frac{7^{\frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.6

Combina.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7 (9 \cdot 2^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 13.7

Sposta $7^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{5}{3}} \cdot 7^{- 1}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8

Moltiplica $7^{\frac{5}{3}}$ per $7^{- 1}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.1

Sposta $7^{- 1}$ .

$\frac{72 \cdot (7^{- 1} \cdot 7^{\frac{5}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{- 1 \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 1 \cdot 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.8.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{- 3 + 5}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.8.6.2

Somma $- 3$ e $5$ .

$\frac{72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.9

Scomponi $9$ da $72 \cdot 7^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.10.1

Scomponi $9$ da $9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 (2^{\frac{5}{3}})}$

Passaggio 13.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 (8 \cdot 7^{\frac{2}{3}})}{9 \cdot 2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 13.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{8 \cdot 7^{\frac{2}{3}}}{2^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 14

$x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{12}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{12}{7}$ nell'espressione.

$f (\frac{12}{7}) = {(\frac{12}{7})}^{2} \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{12}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{12^{2}}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Passaggio 15.2.2

Eleva $12$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{7^{2}} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Passaggio 15.2.3

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{(\frac{12}{7}) - 2}$

Passaggio 15.2.4

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} - 2 \cdot \frac{7}{7}}$

Passaggio 15.2.5

$- 2$ e $\frac{7}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{7} + \frac{- 2 \cdot 7}{7}}$

Passaggio 15.2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 2 \cdot 7}{7}}$

Passaggio 15.2.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.7.1

Moltiplica $- 2$ per $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{12 - 14}{7}}$

Passaggio 15.2.7.2

Sottrai $14$ da $12$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{\frac{- 2}{7}}$

Passaggio 15.2.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{- \frac{2}{7}}$

Passaggio 15.2.9

Riscrivi $- \frac{2}{7}$ come ${({(- 1)}^{3})}^{3} \frac{2}{7}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.9.1

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} (\frac{2}{7})}$

Passaggio 15.2.9.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot \sqrt[3]{{({(- 1)}^{3})}^{3} (\frac{2}{7})}$

Passaggio 15.2.10

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot ({(- 1)}^{3} \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Passaggio 15.2.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \sqrt[3]{\frac{2}{7}})$

Passaggio 15.2.12

Riscrivi $\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$ come $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}})$

Passaggio 15.2.13

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- (\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}))$

Passaggio 15.2.14

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.14.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{7}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Passaggio 15.2.14.2

Eleva $\sqrt[3]{7}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{\sqrt[3]{7} {\sqrt[3]{7}}^{2}})$

Passaggio 15.2.14.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{1 + 2}})$

Passaggio 15.2.14.4

Somma $1$ e $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{\sqrt[3]{7}}^{3}})$

Passaggio 15.2.14.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{3}$ come $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.14.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{7}$ come $7^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{{(7^{\frac{1}{3}})}^{3}})$

Passaggio 15.2.14.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{1}{3} \cdot 3}})$

Passaggio 15.2.14.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Passaggio 15.2.14.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.14.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7^{\frac{3}{3}}})$

Passaggio 15.2.14.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Passaggio 15.2.14.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{7}}^{2}}{7})$

Passaggio 15.2.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.15.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{7}}^{2}$ come $\sqrt[3]{7^{2}}$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{7^{2}}}{7})$

Passaggio 15.2.15.2

Eleva $7$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2} \sqrt[3]{49}}{7})$

Passaggio 15.2.16

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.16.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 49}}{7})$

Passaggio 15.2.16.2

Moltiplica $2$ per $49$ .

$f (\frac{12}{7}) = \frac{144}{49} \cdot (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$

Passaggio 15.2.17

Moltiplica $\frac{144}{49} (- \frac{\sqrt[3]{98}}{7})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.17.1

Moltiplica $\frac{144}{49}$ per $\frac{\sqrt[3]{98}}{7}$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{49 \cdot 7}$

Passaggio 15.2.17.2

Moltiplica $49$ per $7$ .

$f (\frac{12}{7}) = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Passaggio 15.2.18

La risposta finale è $- \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$ .

$y = - \frac{144 \sqrt[3]{98}}{343}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 {((2) - 2)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 17.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Passaggio 17.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0^{5}}$

Passaggio 17.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{9 \cdot 0}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $9$ per $0$ .

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Passaggio 17.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{4 (7 {(2)}^{2} - 24 \cdot 2 + 18)}{0}$

Passaggio 17.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 18

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{12}{7}) \cup (\frac{12}{7}, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 18.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dell'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = \frac{(- 2) (7 (- 2) - 12)}{3 {((- 2) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1.1

Moltiplica $7$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 (- 14 - 12)}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.1.2

Sottrai $12$ da $- 14$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 2 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.2.1

Sottrai $2$ da $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 2 \cdot - 26}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $- 26$ .

$f' (- 2) = \frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.2.2.3

La risposta finale è $\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{52}{3 {(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1$ , dell'intervallo $(0, \frac{12}{7})$ nella derivata prima $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f' (1) = \frac{(1) (7 (1) - 12)}{3 {((1) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.1

Moltiplica $7 (1) - 12$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(1 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.1

Sottrai $2$ da $1$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2.2.2

Riscrivi $- 1$ come ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.3.2.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 18.3.2.2.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}}$

Passaggio 18.3.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 18.3.2.2.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f' (1) = \frac{7 (1) - 12}{3 \cdot 1}$

Passaggio 18.3.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.3.1

Moltiplica $7$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{7 - 12}{3 \cdot 1}$

Passaggio 18.3.2.3.2

Sottrai $12$ da $7$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3 \cdot 1}$

Passaggio 18.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.2.4.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (1) = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 18.3.2.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (1) = - \frac{5}{3}$

Passaggio 18.3.2.5

La risposta finale è $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{5}{3}$

Passaggio 18.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $1.86$ , dell'intervallo $(\frac{12}{7}, 2)$ nella derivata prima $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.86$ nell'espressione.

$f' (1.86) = \frac{(1.86) (7 (1.86) - 12)}{3 {((1.86) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.4.2.1

Moltiplica $1.86$ per $7 (1.86) - 12$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(1.86 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.2

Sottrai $2$ da $1.86$ .

$f' (1.86) = \frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.4.2.3

La risposta finale è $\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1.8972}{3 {(- 0.14)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $4$ , dell'intervallo $(2, \infty)$ nella derivata prima $\frac{x (7 x - 12)}{3 {(x - 2)}^{\frac{2}{3}}}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f' (4) = \frac{(4) (7 (4) - 12)}{3 {((4) - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.1.1

Moltiplica $7$ per $4$ .

$f' (4) = \frac{4 (28 - 12)}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.1.2

Sottrai $12$ da $28$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 {(4 - 2)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.2.2.1

Sottrai $2$ da $4$ .

$f' (4) = \frac{4 \cdot 16}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.2.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$f' (4) = \frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.5.2.3

La risposta finale è $\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{64}{3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 18.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un massimo locale.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 18.7

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = \frac{12}{7}$ , allora $x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale.

$x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 18.8

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 2$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 18.9

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} \sqrt[3]{x - 2}$ .

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale

$x = 0$ è un massimo locale

$x = \frac{12}{7}$ è un minimo locale

Passaggio 19