Calcolo Esempi

$- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $- 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int - 2 x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int x \sqrt{8 - x^{2}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = 8 - x^{2}$ . Allora $d u = - 2 x d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = 8 - x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $8 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [8 - x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Differenzia.

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Passaggio 5.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $8 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$0 - (2 x)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$0 - 2 x$

Passaggio 5.1.4

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$- 2 x$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema utilizzando $u$ e $d u$ .

$- 2 \int \sqrt{u} \frac{1}{- 2} d u$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 2 \int \sqrt{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Passaggio 6.2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 \int - \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 (- \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u)$

Passaggio 8

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \int \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int \sqrt{u} d u)$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 10.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 10.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $\int \sqrt{u} d u$ per $1$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Passaggio 10.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 11

Secondo la regola di potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $8 - x^{2}$ .

$\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = - 2 x \sqrt{8 - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{2}{3} {(8 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$