Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ e $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + \frac{d}{d x} (8)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 6 x + 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 6 x + 2$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{3}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} (8 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + \frac{d}{d x} (- 3)$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8 + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ e $0$ .

$f' (x) = - 3 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 3 x^{2} + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2} + 2 x + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 2 x + 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) + 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi $8$ come $- 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 2 x)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x) - 1 \cdot - 8 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 2 x) - 1 (- 8)$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 8 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$- (3 x^{2} - 2 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$- (3 x^{2} + (4 - 6) x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} + 4 x - 6 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} + 4 x) - 6 x - 8) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (3 x + 4) - 2 (3 x + 4)) = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x + 4$ .

$- ((3 x + 4) (x - 2)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x + 4) (x - 2) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $3 x + 4$ uguale a $0$ .

$3 x + 4 = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $3 x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 4$

Passaggio 5.4.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 4$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Passaggio 5.4.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{4}{3}$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 x + 4) (x - 2) = 0$ vera.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{4}{3}, 2$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{4}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 (- \frac{4}{3}) + 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{4}{3}$ nel numeratore.

$- 6 (\frac{- 4}{3}) + 2$

Passaggio 9.1.1.2

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$3 (- 2) \frac{- 4}{3} + 2$

Passaggio 9.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$3 \cdot - 2 \frac{- 4}{3} + 2$

Passaggio 9.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- 2 \cdot - 4 + 2$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 4$ .

$8 + 2$

Passaggio 9.2

Somma $8$ e $2$ .

$10$

Passaggio 10

$x = - \frac{4}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f (- \frac{4}{3}) = - {(- \frac{4}{3})}^{3} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - ({(- 1)}^{3} {(\frac{4}{3})}^{3}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = - ({(- 1)}^{3} (\frac{4^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 \frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{3}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) (\frac{4^{3}}{3^{3}})) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{3 + 1} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.2.3

Somma $3$ e $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = {(- 1)}^{4} (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = 1 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{4^{3}}{3^{3}}$ per $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{4^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{3^{3}} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- \frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{4}{3})}^{2} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.7.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + {(- 1)}^{2} (\frac{4^{2}}{3^{2}}) + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + 1 (\frac{4^{2}}{3^{2}}) + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.9

Moltiplica $\frac{4^{2}}{3^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{4^{2}}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.10

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{3^{2}} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.11

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + 8 (- \frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.12

Moltiplica $8 (- \frac{4}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.12.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - 8 (\frac{4}{3}) - 3$

Passaggio 11.2.1.12.2

$- 8$ e $\frac{4}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} - 3$

Passaggio 11.2.1.12.3

Moltiplica $- 8$ per $4$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} + \frac{- 32}{3} - 3$

Passaggio 11.2.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} - \frac{32}{3} - 3$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16}{9} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} - 3$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{16}{9}$ per $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32}{3} - 3$

Passaggio 11.2.2.3

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{9}{9}) - 3$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{32}{3}$ per $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} - 3$

Passaggio 11.2.2.5

Scrivi $- 3$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3}{1}$

Passaggio 11.2.2.6

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $\frac{- 3}{1}$ per $\frac{27}{27}$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{9 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.2.8

Riordina i fattori di $9 \cdot 3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 9} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.2.9

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.2.10

Moltiplica $3$ per $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64}{27} + \frac{16 \cdot 3}{27} - \frac{32 \cdot 9}{27} + \frac{- 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 16 \cdot 3 - 32 \cdot 9 - 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $16$ per $3$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 32 \cdot 9 - 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $- 32$ per $9$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 - 3 \cdot 27}{27}$

Passaggio 11.2.4.3

Moltiplica $- 3$ per $27$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{64 + 48 - 288 - 81}{27}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Somma $64$ e $48$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{112 - 288 - 81}{27}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $288$ da $112$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 176 - 81}{27}$

Passaggio 11.2.5.3

Sottrai $81$ da $- 176$ .

$f (- \frac{4}{3}) = \frac{- 257}{27}$

Passaggio 11.2.5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{4}{3}) = - \frac{257}{27}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $- \frac{257}{27}$ .

$y = - \frac{257}{27}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 \cdot 2 + 2$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Moltiplica $- 6$ per $2$ .

$- 12 + 2$

Passaggio 13.2

Somma $- 12$ e $2$ .

$- 10$

Passaggio 14

$x = 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 2$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f (2) = - {(2)}^{3} + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (2) = - 1 \cdot 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$f (2) = - 8 + {(2)}^{2} + 8 (2) - 3$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (2) = - 8 + 4 + 8 (2) - 3$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $8$ per $2$ .

$f (2) = - 8 + 4 + 16 - 3$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 8$ e $4$ .

$f (2) = - 4 + 16 - 3$

Passaggio 15.2.2.2

Somma $- 4$ e $16$ .

$f (2) = 12 - 3$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $3$ da $12$ .

$f (2) = 9$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $9$ .

$y = 9$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{3} + x^{2} + 8 x - 3$ .

$(- \frac{4}{3}, - \frac{257}{27})$ è un minimo locale

$(2, 9)$ è un massimo locale

Passaggio 17