Calcolo Esempi

$y = x - x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x - x^{2}$ come funzione.

$f (x) = x - x^{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 x$

Passaggio 2.3

Riordina i termini.

$- 2 x + 1$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 2 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $- 2$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$1 - (2 x)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$1 - 2 x$

Passaggio 5.1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - 2 x + 1$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x + 1$ .

$- 2 x + 1$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = - 1$

Passaggio 6.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = - 1$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 2$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) - {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 - 1}{4}$

Passaggio 11.2.5

Sottrai $1$ da $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{1}{4}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x - x^{2}$ .

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ è un massimo locale

Passaggio 13