Calcolo Esempi

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ ,

$[6, 16]$

Passaggio 1

Per trovare il valore medio di una funzione, la funzione dovrebbe essere continua sull'intervallo chiuso

$[a, b]$ . Per scoprire se

$f (x)$ è continua su

$[6, 16]$ o no, calcola il dominio di

$f (x) = x + \frac{96}{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta il denominatore in

$\frac{96}{x}$ in modo che sia uguale a

$0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 1.2

Il dominio è formato da tutti i valori di

$x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \neq 0}$

Passaggio 2

$f (x)$ è continua su

$[6, 16]$ .

$f (x)$ è continua

Passaggio 3

Il valore medio della funzione

$f$ rispetto all'intervallo

$[a, b]$ è definito come

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$ .

$A (x) = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (x) d x$

Passaggio 4

Sostituisci i valori effettivi nella formula del valore medio di una funzione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x + \frac{96}{x} d x)$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\int_{6}^{16} x d x + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Passaggio 6

Secondo la regola di potenza, l'intero di

$x$ rispetto a

$x$ è

$\frac{1}{2} x^{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + \int_{6}^{16} \frac{96}{x} d x)$

Passaggio 7

Poiché

$96$ è costante rispetto a

$x$ , sposta

$96$ fuori dall'integrale.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 \int_{6}^{16} \frac{1}{x} d x)$

Passaggio 8

L'integrale di

$\frac{1}{x}$ rispetto a

$x$ è

$\ln (| x |)$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} x^{2}]_{6}^{16} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Calcola

$\frac{1}{2} x^{2}$ per

$16$ e per

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} ((\frac{1}{2} \cdot 16^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| x |)]_{6}^{16}))$

Passaggio 9.1.2

Calcola

$\ln (| x |)$ per

$16$ e per

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 16^{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Eleva

$16$ alla potenza di

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.2

$\frac{1}{2}$ e

$256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{256}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.3

Elimina il fattore comune di

$256$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.1

Scomponi

$2$ da

$256$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 (1)} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{2 \cdot 128}{2 \cdot 1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (\frac{128}{1} - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.3.2.4

Dividi

$128$ per

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 6^{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.4

Eleva

$6$ alla potenza di

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - \frac{1}{2} \cdot 36 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.5

Moltiplica

$36$ per

$- 1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 36 (\frac{1}{2}) + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.6

$- 36$ e

$\frac{1}{2}$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 36}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.7

Elimina il fattore comune di

$- 36$ e

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.7.1

Scomponi

$2$ da

$- 36$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.7.2.1

Scomponi

$2$ da

$2$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 (1)} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{2 \cdot - 18}{2 \cdot 1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 + \frac{- 18}{1} + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.7.2.4

Dividi

$- 18$ per

$1$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (128 - 18 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.1.3.8

Sottrai

$18$ da

$128$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 (\ln (| 16 |) - \ln (| 6 |)))$

Passaggio 9.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi,

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{| 16 |}{| 6 |}))$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$16$ è

$16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{| 6 |}))$

Passaggio 9.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$6$ è

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{16}{6}))$

Passaggio 9.3.3

Elimina il fattore comune di

$16$ e

$6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Scomponi

$2$ da

$16$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 (8)}{6}))$

Passaggio 9.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$6$ .

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 9.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 3}))$

Passaggio 9.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = \frac{1}{16 - 6} (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Passaggio 10

Sottrai

$6$ da

$16$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + 96 \ln (\frac{8}{3}))$

Passaggio 11

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica

$96 \ln (\frac{8}{3})$ spostando

$96$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln ({(\frac{8}{3})}^{96}))$

Passaggio 11.2

Applica la regola del prodotto a

$\frac{8}{3}$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (110 + \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}}))$

Passaggio 12

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Applica la proprietà distributiva.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot 110 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Passaggio 12.2

Elimina il fattore comune di

$10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scomponi

$10$ da

$110$ .

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 (11)) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Passaggio 12.2.2

Elimina il fattore comune.

$A (x) = \frac{1}{10} \cdot (10 \cdot 11) + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Passaggio 12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 11 + \frac{1}{10} \cdot \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$

Passaggio 13

Semplifica

$\frac{1}{10} \ln (\frac{8^{96}}{3^{96}})$ spostando

$\frac{1}{10}$ all'interno del logaritmo.

$A (x) = 11 + \ln ({(\frac{8^{96}}{3^{96}})}^{\frac{1}{10}})$

Passaggio 14

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Applica la regola del prodotto a

$\frac{8^{96}}{3^{96}}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{{(8^{96})}^{\frac{1}{10}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2

Moltiplica gli esponenti in

${(8^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{96 (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 (48) (\frac{1}{10})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2.2.2

Scomponi

$2$ da

$10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{48 (\frac{1}{5})}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.2.3

$48$ e

$\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{{(3^{96})}^{\frac{1}{10}}})$

Passaggio 14.3

Moltiplica gli esponenti in

${(3^{96})}^{\frac{1}{10}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{96 (\frac{1}{10})}})$

Passaggio 14.3.2

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Scomponi

$2$ da

$96$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 (48) (\frac{1}{10})}})$

Passaggio 14.3.2.2

Scomponi

$2$ da

$10$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Passaggio 14.3.2.3

Elimina il fattore comune.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{2 \cdot (48 (\frac{1}{2 \cdot 5}))}})$

Passaggio 14.3.2.4

Riscrivi l'espressione.

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{48 (\frac{1}{5})}})$

Passaggio 14.3.3

$48$ e

$\frac{1}{5}$ .

$A (x) = 11 + \ln (\frac{8^{\frac{48}{5}}}{3^{\frac{48}{5}}})$

Passaggio 15