Calcolo Esempi

$y = \sin (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $y = \sin (x + \frac{π}{2})$ come funzione.

$f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{2}$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}])$

Passaggio 2.2.3

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Passaggio 2.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\cos (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $\cos (x + \frac{π}{2})$ per $1$ .

$\cos (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - \sin (u) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \frac{π}{2}$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 3.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{2}]$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} (\frac{π}{2}))$

Passaggio 3.2.3

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Passaggio 3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2}) \cdot 1$

Passaggio 3.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - \sin (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\cos (x + \frac{π}{2}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π - π}{2}$

Passaggio 7.3

Sottrai $π$ da $π$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 7.4

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 π - π}{2}$

Passaggio 9.2.3

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 9.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{2}$

Passaggio 9.2.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$x = π$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$x = 0, π$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$- \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Passaggio 12.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 1$

Passaggio 13

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \sin ((0) + \frac{π}{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Somma $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (0) = \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (0) = 1$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = π$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$- \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 16.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$- \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Passaggio 16.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 16.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- - 1$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 17

$x = π$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = π$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $π$ nell'espressione.

$f (π) = \sin ((π) + \frac{π}{2})$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 18.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Passaggio 18.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (π) = \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Passaggio 18.2.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Passaggio 18.2.3.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$f (π) = \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 18.2.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (π) = - \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 18.2.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (π) = - 1 \cdot 1$

Passaggio 18.2.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (π) = - 1$

Passaggio 18.2.7

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \sin (x + \frac{π}{2})$ .

$(0, 1)$ è un massimo locale

$(π, - 1)$ è un minimo locale

Passaggio 20