Calcolo Esempi

$y = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Passaggio 1

Scrivi $y = \cos (x) + \frac{x}{2}$ come funzione.

$f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\cos (x) + \frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- \sin (x) + \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} - \sin (x)$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{1}{2} - \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 3.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \sin (x))$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{d}{d x} \sin (x)$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$f'' (x) = 0 - \cos (x)$

Passaggio 3.3

Sottrai $\cos (x)$ da $0$ .

$f'' (x) = - \cos (x)$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$\frac{1}{2} - \sin (x) = 0$

Passaggio 5

Sottrai $\frac{1}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- \frac{1}{2}}{- 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin (x) = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Passaggio 6.3.2

Dividi $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 10

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 10.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 10.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 13

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 14

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{6}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{6}) = \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.3.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 15.2.1.3.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Passaggio 15.2.2

La risposta finale è $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{5 π}{6}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- \cos (\frac{5 π}{6})$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$- - \cos (\frac{π}{6})$

Passaggio 17.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.3

Moltiplica $- - \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 17.3.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $1$ .

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 18

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{5 π}{6}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{5 π}{6}$ nell'espressione.

$f (\frac{5 π}{6}) = \cos (\frac{5 π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \cos (\frac{π}{6}) + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 19.2.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\frac{5 π}{6}}{2}$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 19.2.1.4

Moltiplica $\frac{5 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{5 π}{6}$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{6 \cdot 2}$

Passaggio 19.2.1.4.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Passaggio 19.2.2

La risposta finale è $- \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = \cos (x) + \frac{x}{2}$ .

$(\frac{π}{6}, \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{π}{12})$ è un massimo locale

$(\frac{5 π}{6}, - \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{5 π}{12})$ è un minimo locale

Passaggio 21