Calcolo Esempi

$y = 5 x^{2} + 3 x + 4$

Passaggio 1

Scrivi $y = 5 x^{2} + 3 x + 4$ come funzione.

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x + 4$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$10 x + 3 + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$10 x + 3 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $10 x + 3$ e $0$ .

$10 x + 3$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $10 x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (10 x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 10 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$f'' (x) = 10 + \frac{d}{d x} (3)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 10 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $10$ e $0$ .

$f'' (x) = 10$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$10 x + 3 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{2} + 3 x + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{2}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 5 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$f' (x) = 10 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 10 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 10 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f' (x) = 10 x + 3 + \frac{d}{d x} (4)$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 10 x + 3 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $10 x + 3$ e $0$ .

$f' (x) = 10 x + 3$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $10 x + 3$ .

$10 x + 3$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $10 x + 3 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$10 x + 3 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$10 x = - 3$

Passaggio 6.3

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $10$ ciascun termine in $10 x = - 3$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{10}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{3}{10}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = - \frac{3}{10}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{3}{10}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$10$

Passaggio 10

$x = - \frac{3}{10}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{3}{10}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - \frac{3}{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{10}$ nell'espressione.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ per $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.5

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.6.1

Scomponi $5$ da $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.7

Moltiplica $3 (- \frac{3}{10})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) + 4$

Passaggio 11.2.1.7.2

$- 3$ e $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} + 4$

Passaggio 11.2.1.7.3

Moltiplica $- 3$ per $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} + 4$

Passaggio 11.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} + 4$

Passaggio 11.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Moltiplica $\frac{9}{10}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) + 4$

Passaggio 11.2.2.2

Moltiplica $\frac{9}{10}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + 4$

Passaggio 11.2.2.3

Scrivi $4$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4}{1}$

Passaggio 11.2.2.4

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Passaggio 11.2.2.5

Moltiplica $\frac{4}{1}$ per $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Passaggio 11.2.2.6

Riordina i fattori di $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Passaggio 11.2.2.7

Moltiplica $2$ per $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{4 \cdot 20}{20}$

Passaggio 11.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 4 \cdot 20}{20}$

Passaggio 11.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $- 9$ per $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 + 4 \cdot 20}{20}$

Passaggio 11.2.4.2

Moltiplica $4$ per $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 + 80}{20}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Sottrai $18$ da $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 + 80}{20}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $- 9$ e $80$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{71}{20}$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $\frac{71}{20}$ .

$y = \frac{71}{20}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 5 x^{2} + 3 x + 4$ .

$(- \frac{3}{10}, \frac{71}{20})$ è un minimo locale

Passaggio 13