Calcolo Esempi

$y = 2 x^{2} - 4 x$

Passaggio 1

Scrivi $y = 2 x^{2} - 4 x$ come funzione.

$f (x) = 2 x^{2} - 4 x$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x - 4 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$4 x - 4$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$4 x - 4 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x^{2} - 4 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 x - 4 \cdot 1$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f' (x) = 4 x - 4$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $4 x - 4$ .

$4 x - 4$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $4 x - 4 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$4 x - 4 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = 4$

Passaggio 6.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = 4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{4}{4}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{4}{4}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $4$ per $4$ .

$x = 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4$

Passaggio 10

$x = 1$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 4 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 4 \cdot 1$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (1) = 2 - 4$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $4$ da $2$ .

$f (1) = - 2$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 2$ .

$y = - 2$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 2 x^{2} - 4 x$ .

$(1, - 2)$ è un minimo locale

Passaggio 13