Calcolo Esempi

$y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $y = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$60 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{3} + 60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (60 x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{3}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + \frac{d}{d x} (60 x^{2})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 60 (2 x)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$f'' (x) = 180 x^{2} + 120 x$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $15 x^{4} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $15$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3})$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f' (x) = 60 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$60 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{3}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $60 x^{2}$ da $60 x^{2} (x) + 60 x^{2} (1)$ .

$60 x^{2} (x + 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $60 x^{2} (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$180 {(0)}^{2} + 120 (0)$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$180 \cdot 0 + 120 (0)$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $180$ per $0$ .

$0 + 120 (0)$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $120$ per $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 4$ , dall'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata prima $60 x^{3} + 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 4$ nell'espressione.

$f' (- 4) = 60 {(- 4)}^{3} + 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 4) = 60 \cdot - 64 + 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 64$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 60 {(- 4)}^{2}$

Passaggio 11.2.2.1.3

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 60 \cdot 16$

Passaggio 11.2.2.1.4

Moltiplica $60$ per $16$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 960$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $- 3840$ e $960$ .

$f' (- 4) = - 2880$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $- 2880$ .

$- 2880$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 0.5$ , dall'intervallo $(- 1, 0)$ nella derivata prima $60 x^{3} + 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.5$ nell'espressione.

$f' (- 0.5) = 60 {(- 0.5)}^{3} + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 0.5) = 60 \cdot - 0.125 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $60$ per $- 0.125$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 {(- 0.5)}^{2}$

Passaggio 11.3.2.1.3

Eleva $- 0.5$ alla potenza di $2$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 60 \cdot 0.25$

Passaggio 11.3.2.1.4

Moltiplica $60$ per $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 7.5 + 15$

Passaggio 11.3.2.2

Somma $- 7.5$ e $15$ .

$f' (- 0.5) = 7.5$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $7.5$ .

$7.5$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata prima $60 x^{3} + 60 x^{2}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = 60 {(2)}^{3} + 60 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = 60 \cdot 8 + 60 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.1.2

Moltiplica $60$ per $8$ .

$f' (2) = 480 + 60 {(2)}^{2}$

Passaggio 11.4.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f' (2) = 480 + 60 \cdot 4$

Passaggio 11.4.2.1.4

Moltiplica $60$ per $4$ .

$f' (2) = 480 + 240$

Passaggio 11.4.2.2

Somma $480$ e $240$ .

$f' (2) = 720$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $720$ .

$720$

Passaggio 11.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = - 1$ , allora $x = - 1$ è un minimo locale.

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 11.6

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 0$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 15 x^{4} + 20 x^{3}$ .

$x = - 1$ è un minimo locale

Passaggio 12