Calcolo Esempi

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ come funzione.

$f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 x^{2} - 24 x + 48$ e $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} - 24 x + 48$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 24 x] + \frac{d}{d x} [48]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 24 x) + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 24 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 24 x$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 24$ per $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + \frac{d}{d x} (48)$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24 + 0$

Passaggio 3.4.2

Somma $6 x - 24$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 24$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 12$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + \frac{d}{d x} (48 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $48$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $48 x$ rispetto a $x$ è $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $48$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48 + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $3 x^{2} - 24 x + 48$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 48$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 24 x + 48$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 24 x + 48 = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 24 x + 48$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 24 x + 48 = 0$

Passaggio 6.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 24 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 8 x) + 48 = 0$

Passaggio 6.2.1.3

Scomponi $3$ da $48$ .

$3 x^{2} + 3 (- 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 x^{2} + 3 (- 8 x)$ .

$3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 16 = 0$

Passaggio 6.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - 8 x) + 3 \cdot 16$ .

$3 (x^{2} - 8 x + 16) = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$3 (x^{2} - 8 x + 4^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Passaggio 6.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 4$ .

$3 {(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 {(x - 4)}^{2} = 0$ .

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 {(x - 4)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi ${(x - 4)}^{2}$ per $1$ .

${(x - 4)}^{2} = \frac{0}{3}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Passaggio 6.4

Poni $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 6.5

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$6 (4) - 24$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $6$ per $4$ .

$24 - 24$

Passaggio 10.2

Sottrai $24$ da $24$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $0$ , dall'intervallo $(- \infty, 4)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 24 x + 48$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 24 \cdot 0 + 48$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 24 \cdot 0 + 48$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f' (0) = 0 - 24 \cdot 0 + 48$

Passaggio 11.2.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 48$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f' (0) = 0 + 48$

Passaggio 11.2.2.2.2

Somma $0$ e $48$ .

$f' (0) = 48$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $48$ .

$48$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata prima $3 x^{2} - 24 x + 48$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 24 \cdot 6 + 48$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 24 \cdot 6 + 48$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $3$ per $36$ .

$f' (6) = 108 - 24 \cdot 6 + 48$

Passaggio 11.3.2.1.3

Moltiplica $- 24$ per $6$ .

$f' (6) = 108 - 144 + 48$

Passaggio 11.3.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Sottrai $144$ da $108$ .

$f' (6) = - 36 + 48$

Passaggio 11.3.2.2.2

Somma $- 36$ e $48$ .

$f' (6) = 12$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $12$ .

$12$

Passaggio 11.4

Poiché la derivata prima non ha cambiato segno intorno a $x = 4$ , non si tratta né di un minimo né di un massimo locale.

Non è un minimo o un massimo locale

Passaggio 11.5

Nessun massimo o minimo locale trovato per $f (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + 1$ .

Nessun massimo o minimo locale

Passaggio 12