Calcolo Esempi

$y = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$

Passaggio 1

Scrivi $y = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$ come funzione.

$f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x$ e $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 8 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (8 x)$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $8$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 8$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 4 x^{2} - 10$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{2}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.3.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + \frac{d}{d x} [- 10]$

Passaggio 5.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Poiché $- 10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 10$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x + 0$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $- 4 x^{3} + 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 8 x$ .

$- 4 x^{3} + 8 x$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 8 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 8 x = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 4 x \cdot x^{2} + 8 x = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $- 4 x$ da $8 x$ .

$- 4 x \cdot x^{2} - 4 x \cdot - 2 = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $- 4 x$ da $- 4 x (x^{2}) - 4 x (- 2)$ .

$- 4 x (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 6.5.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 6.5.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 4 x (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(0)}^{2} + 8$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 8$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$0 + 8$

Passaggio 10.2

Somma $0$ e $8$ .

$8$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{4} + 4 {(0)}^{2} - 10$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - 0 + 4 {(0)}^{2} - 10$

Passaggio 12.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 4 {(0)}^{2} - 10$

Passaggio 12.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 4 \cdot 0 - 10$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 10$

Passaggio 12.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 10$

Passaggio 12.2.2.2

Sottrai $10$ da $0$ .

$f (0) = - 10$

Passaggio 12.2.3

La risposta finale è $- 10$ .

$y = - 10$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(\sqrt{2})}^{2} + 8$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Passaggio 14.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Passaggio 14.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Passaggio 14.1.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Passaggio 14.1.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 12 \cdot 2^{1} + 8$

Passaggio 14.1.1.5

Calcola l'esponente.

$- 12 \cdot 2 + 8$

Passaggio 14.1.2

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 24 + 8$

Passaggio 14.2

Somma $- 24$ e $8$ .

$- 16$

Passaggio 15

$x = \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (\sqrt{2}) = - {(\sqrt{2})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.1.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\sqrt{2}) = - 2^{2} + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 1 \cdot 4 + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 {(\sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 10$

Passaggio 16.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 10$

Passaggio 16.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Passaggio 16.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Passaggio 16.2.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Passaggio 16.2.1.4.5

Calcola l'esponente.

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Passaggio 16.2.1.5

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4 + 8 - 10$

Passaggio 16.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.2.1

Somma $- 4$ e $8$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 10$

Passaggio 16.2.2.2

Sottrai $10$ da $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 6$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = - \sqrt{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- \sqrt{2})}^{2} + 8$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$- 12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 8$

Passaggio 18.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) + 8$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$- 12 {\sqrt{2}}^{2} + 8$

Passaggio 18.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- 12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Passaggio 18.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Passaggio 18.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Passaggio 18.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + 8$

Passaggio 18.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 12 \cdot 2^{1} + 8$

Passaggio 18.1.4.5

Calcola l'esponente.

$- 12 \cdot 2 + 8$

Passaggio 18.1.5

Moltiplica $- 12$ per $2$ .

$- 24 + 8$

Passaggio 18.2

Somma $- 24$ e $8$ .

$- 16$

Passaggio 19

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \sqrt{2}$ è un massimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \sqrt{2}$ nell'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - {(- \sqrt{2})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{4}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) {\sqrt{2}}^{4}) + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4 + 1} {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.2.3

Somma $4$ e $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{5} {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {\sqrt{2}}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{4}$ come $2^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{4}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.4.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{\frac{2}{1}} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.4.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 2^{2} + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 1 \cdot 4 + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {(- \sqrt{2})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 10$

Passaggio 20.2.1.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 10$

Passaggio 20.2.1.9

Moltiplica ${\sqrt{2}}^{2}$ per $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {\sqrt{2}}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.10

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 10$

Passaggio 20.2.1.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 10$

Passaggio 20.2.1.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Passaggio 20.2.1.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.10.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 10$

Passaggio 20.2.1.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Passaggio 20.2.1.10.5

Calcola l'esponente.

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 4 \cdot 2 - 10$

Passaggio 20.2.1.11

Moltiplica $4$ per $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4 + 8 - 10$

Passaggio 20.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.2.1

Somma $- 4$ e $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 10$

Passaggio 20.2.2.2

Sottrai $10$ da $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 6$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 4 x^{2} - 10$ .

$(0, - 10)$ è un minimo locale

$(\sqrt{2}, - 6)$ è un massimo locale

$(- \sqrt{2}, - 6)$ è un massimo locale

Passaggio 22