Calcolo Esempi

$y = x^{4} e^{- x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{4} e^{- x}$ come funzione.

$f (x) = x^{4} e^{- x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{4} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$x^{4} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}] + \frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4} e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{4} e^{- x}) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.2.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} (4 x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3} e^{- x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3} e^{- x}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{3}))$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.8

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.3.9

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - (x^{4} (- e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (x^{4} (e^{- x})) - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.3.2

Moltiplica $x^{4}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - (e^{- x} (4 x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.3.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 (e^{- x} (x^{3})) + 4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.3.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.4.3.5

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 e^{- x} x^{3} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 (e^{- x} (x^{2}))$

Passaggio 3.4.3.6

Sottrai $4 x^{3} e^{- x}$ da $- 4 e^{- x} x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.6.1

Sposta $e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} - 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 3.4.3.6.2

Sottrai $4 x^{3} e^{- x}$ da $- 4 x^{3} e^{- x}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

Passaggio 3.4.5

Riordina i fattori in $e^{- x} x^{4} - 8 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ .

$f'' (x) = x^{4} e^{- x} - 8 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} \frac{d}{d x} (e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{u} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \frac{d}{d x} (- x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} x)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f' (x) = x^{4} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3.3.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3.3.3

Riscrivi $- 1 e^{- x}$ come $- e^{- x}$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} (x^{4})$

Passaggio 5.1.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$f' (x) = x^{4} (- e^{- x}) + e^{- x} (4 x^{3})$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = - e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $- e^{- x} x^{4} + 4 e^{- x} x^{3}$ .

$f' (x) = - x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $- x^{4} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + 4 x^{3} e^{- x} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $4 x^{3} e^{- x}$ .

$x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x^{3} e^{- x}$ da $x^{3} e^{- x} (- x) + x^{3} e^{- x} (4)$ .

$x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 4 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $x^{3}$ uguale a $0$ .

$x^{3} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $x^{3} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Passaggio 6.4.2.2

Semplifica $\sqrt[3]{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Passaggio 6.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $e^{- x}$ uguale a $0$ .

$e^{- x} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $e^{- x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.6

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $- x + 4$ uguale a $0$ .

$- x + 4 = 0$

Passaggio 6.6.2

Risolvi $- x + 4 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Sottrai $4$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 4$

Passaggio 6.6.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 4$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.6.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 4}{- 1}$

Passaggio 6.6.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.2.3.1

Dividi $- 4$ per $- 1$ .

$x = 4$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x^{3} e^{- x} (- x + 4) = 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 4$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(0)}^{4} e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- (0)} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0} - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 8 {(0)}^{3} e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $- 8$ per $0$ .

$0 + 0 e^{- (0)} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.8

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.9

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 12 {(0)}^{2} e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.10

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 12 \cdot 0 e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.11

Moltiplica $12$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{- (0)}$

Passaggio 10.1.12

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Passaggio 10.1.13

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Passaggio 10.1.14

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 0$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$0$

Passaggio 11

Poiché c'è almeno un punto con una derivata seconda $0$ o indefinita, applica il test della derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli separati intorno ai valori $x$ che rendono la derivata prima $0$ o indefinita.

$(- \infty, 0) \cup (0, 4) \cup (4, \infty)$

Passaggio 11.2

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $- 2$ , dall'intervallo $(- \infty, 0)$ nella derivata prima $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f' (- 2) = - {(- 2)}^{4} e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Passaggio 11.2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $4$ .

$f' (- 2) = - 1 \cdot (16 e^{- (- 2)}) + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Passaggio 11.2.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{- (- 2)} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Passaggio 11.2.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 {(- 2)}^{3} e^{- (- 2)}$

Passaggio 11.2.2.1.4

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} + 4 \cdot (- 8 e^{- (- 2)})$

Passaggio 11.2.2.1.5

Moltiplica $4$ per $- 8$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{- (- 2)}$

Passaggio 11.2.2.1.6

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f' (- 2) = - 16 e^{2} - 32 e^{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $32 e^{2}$ da $- 16 e^{2}$ .

$f' (- 2) = - 48 e^{2}$

Passaggio 11.2.2.3

La risposta finale è $- 48 e^{2}$ .

$- 48 e^{2}$

Passaggio 11.3

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $2$ , dall'intervallo $(0, 4)$ nella derivata prima $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $2$ nell'espressione.

$f' (2) = - {(2)}^{4} e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f' (2) = - 1 \cdot (16 e^{- (2)}) + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$f' (2) = - 16 e^{- (2)} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = - 16 e^{- 2} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - 16 \frac{1}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.5

$- 16$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = \frac{- 16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 {(2)}^{3} e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 4 \cdot (8 e^{- (2)})$

Passaggio 11.3.2.1.8

Moltiplica $4$ per $8$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- (2)}$

Passaggio 11.3.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 e^{- 2}$

Passaggio 11.3.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + 32 (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 11.3.2.1.11

$32$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (2) = - \frac{16}{e^{2}} + \frac{32}{e^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (2) = \frac{- 16 + 32}{e^{2}}$

Passaggio 11.3.2.2.2

Somma $- 16$ e $32$ .

$f' (2) = \frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 11.3.2.3

La risposta finale è $\frac{16}{e^{2}}$ .

$\frac{16}{e^{2}}$

Passaggio 11.4

Sostituisci qualsiasi numero, come ad esempio $6$ , dall'intervallo $(4, \infty)$ nella derivata prima $- x^{4} e^{- x} + 4 x^{3} e^{- x}$ per controllare se il risultato è negativo o positivo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Sostituisci la variabile $x$ con $6$ nell'espressione.

$f' (6) = - {(6)}^{4} e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Eleva $6$ alla potenza di $4$ .

$f' (6) = - 1 \cdot (1296 e^{- (6)}) + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1296$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- (6)} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (6) = - 1296 e^{- 6} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - 1296 \frac{1}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.5

$- 1296$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = \frac{- 1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.7

Eleva $6$ alla potenza di $3$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 4 \cdot (216 e^{- (6)})$

Passaggio 11.4.2.1.8

Moltiplica $4$ per $216$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- (6)}$

Passaggio 11.4.2.1.9

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 e^{- 6}$

Passaggio 11.4.2.1.10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + 864 (\frac{1}{e^{6}})$

Passaggio 11.4.2.1.11

$864$ e $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (6) = - \frac{1296}{e^{6}} + \frac{864}{e^{6}}$

Passaggio 11.4.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f' (6) = \frac{- 1296 + 864}{e^{6}}$

Passaggio 11.4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.2.2.1

Somma $- 1296$ e $864$ .

$f' (6) = \frac{- 432}{e^{6}}$

Passaggio 11.4.2.2.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f' (6) = - \frac{432}{e^{6}}$

Passaggio 11.4.2.3

La risposta finale è $- \frac{432}{e^{6}}$ .

$- \frac{432}{e^{6}}$

Passaggio 11.5

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da negativo a positivo intorno a $x = 0$ , allora $x = 0$ è un minimo locale.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11.6

Dato che la derivata prima ha cambiato segno da positivo a negativo intorno a $x = 4$ , allora $x = 4$ è un massimo locale.

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 11.7

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{4} e^{- x}$ .

$x = 0$ è un minimo locale

$x = 4$ è un massimo locale

$x = 0$ è un minimo locale

$x = 4$ è un massimo locale

Passaggio 12