Calcolo Esempi

$y = x^{2} e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = x^{2} e^{x}$ come funzione.

$f (x) = x^{2} e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Passaggio 2.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x e^{x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{x})$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x} + e^{x})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x) + 2 (x e^{x}) + 2 e^{x}$

Passaggio 3.4.2

Somma $e^{x} (2 x)$ e $2 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sposta $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} + 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3.4.2.2

Somma $2 x e^{x}$ e $2 x e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3.4.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 3.4.4

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 4 e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{2} e^{x} + 4 x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 5.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2})$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 5.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.4.1

Riordina i termini.

$f' (x) = e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$

Passaggio 5.1.4.2

Riordina i fattori in $e^{x} x^{2} + 2 e^{x} x$ .

$f' (x) = x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$x^{2} e^{x} + 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi $x e^{x}$ da $x^{2} e^{x} + 2 x e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scomponi $x e^{x}$ da $x^{2} e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + 2 x e^{x} = 0$

Passaggio 6.2.2

Scomponi $x e^{x}$ da $2 x e^{x}$ .

$x e^{x} (x) + x e^{x} (2) = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $x e^{x}$ da $x e^{x} (x) + x e^{x} (2)$ .

$x e^{x} (x + 2) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 6.5

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.6

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.6.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x e^{x} (x + 2) = 0$ vera.

$x = 0, - 2$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 2$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(0)}^{2} e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{0} + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 4 (0) e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 10.1.7

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 10.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 10.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 11

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{0}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Passaggio 12.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Passaggio 12.2.3

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 12.2.4

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = - 2$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

${(- 2)}^{2} e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$4 e^{- 2} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.3

$4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + 4 (- 2) e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 e^{- 2} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - 8 \frac{1}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.6

$- 8$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} + \frac{- 8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 e^{- 2}$

Passaggio 14.1.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + 2 \frac{1}{e^{2}}$

Passaggio 14.1.9

$2$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}} - \frac{8}{e^{2}} + \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 14.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 8 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 14.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.2.1

Sottrai $8$ da $4$ .

$\frac{- 4 + 2}{e^{2}}$

Passaggio 14.2.2.2

Somma $- 4$ e $2$ .

$\frac{- 2}{e^{2}}$

Passaggio 14.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{e^{2}}$

Passaggio 15

$x = - 2$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 2$ è un massimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 2$ nell'espressione.

$f (- 2) = {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$f (- 2) = 4 e^{- 2}$

Passaggio 16.2.2

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 2) = 4 (\frac{1}{e^{2}})$

Passaggio 16.2.3

$4$ e $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Passaggio 16.2.4

La risposta finale è $\frac{4}{e^{2}}$ .

$y = \frac{4}{e^{2}}$

Passaggio 17

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} e^{x}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(- 2, \frac{4}{e^{2}})$ è un massimo locale

Passaggio 18