Calcolo Esempi

$y = e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 1

Scrivi $y = e^{2 x} - e^{x}$ come funzione.

$f (x) = e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 3

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 e^{2 x} - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 e^{2 x}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (e^{u} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (e^{2 x} \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$f'' (x) = 2 (2 \cdot e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 4 e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 4

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Passaggio 5

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $e^{2 x} - e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (e^{2 x}) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = e^{u} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x$ .

$f' (x) = e^{2 x} \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{2 x}$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} + \frac{d}{d x} (- e^{x})$

Passaggio 5.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - \frac{d}{d x} e^{x}$

Passaggio 5.1.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = 2 e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 5.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 e^{2 x} - e^{x}$ .

$2 e^{2 x} - e^{x}$

Passaggio 6

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 e^{2 x} - e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 e^{2 x} - e^{x} = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Riscrivi $e^{2 x}$ come ${(e^{x})}^{2}$ .

$2 {(e^{x})}^{2} - e^{x} = 0$

Passaggio 6.2.2

Sia $u = e^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $e^{x}$ con $u$ .

$2 u^{2} - u = 0$

Passaggio 6.2.3

Scomponi $u$ da $2 u^{2} - u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $u$ da $2 u^{2}$ .

$u (2 u) - u = 0$

Passaggio 6.2.3.2

Scomponi $u$ da $- u$ .

$u (2 u) + u \cdot - 1 = 0$

Passaggio 6.2.3.3

Scomponi $u$ da $u (2 u) + u \cdot - 1$ .

$u (2 u - 1) = 0$

Passaggio 6.2.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $e^{x}$ .

$e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$

Passaggio 6.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$2 e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 6.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 6.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 6.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 6.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 6.5

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Imposta $2 e^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$2 e^{x} - 1 = 0$

Passaggio 6.5.2

Risolvi $2 e^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 e^{x} = 1$

Passaggio 6.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 e^{x} = 1$ .

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 e^{x}}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.2.2.1.2

Dividi $e^{x}$ per $1$ .

$e^{x} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.5.2.3

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.5.2.4

Espandi il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.4.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.5.2.4.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.5.2.4.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (2 e^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 7

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 8

Punti critici da calcolare.

$x = \ln (\frac{1}{2})$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda per $x = \ln (\frac{1}{2})$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Semplifica $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$4 e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$4 {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.6

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$4 (\frac{1}{4}) - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1 - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 10.1.7

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$1 - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 10.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 10.2.3

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 11

$x = \ln (\frac{1}{2})$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \ln (\frac{1}{2})$ è un minimo locale

Passaggio 12

Trova il valore di y quando $x = \ln (\frac{1}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\ln (\frac{1}{2})$ nell'espressione.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{2 (\ln (\frac{1}{2}))} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Semplifica $2 (\ln (\frac{1}{2}))$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = e^{\ln ({(\frac{1}{2})}^{2})} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2.1.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = {(\frac{1}{2})}^{2} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1^{2}}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2.1.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2^{2}} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - e^{\ln (\frac{1}{2})}$

Passaggio 12.2.1.6

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- \frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 12.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 12.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1}{4} - \frac{2}{4}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{1 - 2}{4}$

Passaggio 12.2.5

Sottrai $2$ da $1$ .

$f (\ln (\frac{1}{2})) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 12.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\ln (\frac{1}{2})) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 12.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 13

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{2 x} - e^{x}$ .

$(\ln (\frac{1}{2}), - \frac{1}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 14