Calcolo Esempi

$P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (x - 4) e^{x} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 4) e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = e^{x}$ .

$- ((x - 4) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x - 4]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 1.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$- (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Passaggio 1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$- x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Passaggio 1.4.3.2

Sottrai $e^{x}$ da $4 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Passaggio 1.4.3.3

Somma $- x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 1.4.4

Riordina i termini.

$- e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 1.4.5

Riordina i fattori in $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x e^{x} + 3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

$P'' (x) = \frac{d}{d x} (- x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

$P'' (x) = - \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$P'' (x) = - (x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 e^{x})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 e^{x}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 \frac{d}{d x} (e^{x})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$P'' (x) = - (x e^{x} + e^{x}) + 3 e^{x}$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$P'' (x) = - (x e^{x}) - e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 2.4.2

Somma $- e^{x}$ e $3 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$P'' (x) = - e^{x} x + 2 e^{x}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i fattori in $- e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$P'' (x) = - x e^{x} + 2 e^{x}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- (x - 4) e^{x} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (- (x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- (x - 4) e^{x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (x - 4) e^{x}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [(x - 4) e^{x}]$ .

$f' (x) = - \frac{d}{d x} ((x - 4) e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x - 4$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f' (x) = - ((x - 4) \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola esponenziale, che indica che $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x - 4)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 4))) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.6

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.2.8

Moltiplica $e^{x}$ per $1$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + \frac{d}{d x} (- 4)$

Passaggio 4.1.3

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f' (x) = - ((x - 4) e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 4.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = - (x e^{x} - 4 e^{x} + e^{x}) + 0$

Passaggio 4.1.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f' (x) = - (x e^{x}) - (- 4 e^{x}) - e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.3.1

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 4 e^{x} - e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.2

Sottrai $e^{x}$ da $4 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x} + 0$

Passaggio 4.1.4.3.3

Somma $- x e^{x} + 3 e^{x}$ e $0$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4.1.4.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - e^{x} x + 3 e^{x}$

Passaggio 4.1.4.5

Riordina i fattori in $- e^{x} x + 3 e^{x}$ .

$f' (x) = - x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $P (x)$ rispetto a $x$ è $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- x e^{x} + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $e^{x}$ da $- x e^{x} + 3 e^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $- x e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + 3 e^{x} = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $3 e^{x}$ .

$e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3 = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 3$ .

$e^{x} (- x + 3) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x}$ uguale a $0$ .

$e^{x} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $- x + 3$ uguale a $0$ .

$- x + 3 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $- x + 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 3$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 3$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Dividi $- 3$ per $- 1$ .

$x = 3$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $e^{x} (- x + 3) = 0$ vera.

$x = 3$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 3$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 3$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 3 e^{3} + 2 e^{3}$

Passaggio 9

Somma $- 3 e^{3}$ e $2 e^{3}$ .

$- e^{3}$

Passaggio 10

$x = 3$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 3$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $3$ nell'espressione.

$P (3) = - ((3) - 4) \cdot e^{3} - 4$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Sottrai $4$ da $3$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$P (3) = 1 \cdot e^{3} - 4$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $e^{3}$ per $1$ .

$P (3) = e^{3} - 4$

Passaggio 11.2.2

La risposta finale è $e^{3} - 4$ .

$y = e^{3} - 4$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $P (x) = - (x - 4) e^{x} - 4$ .

$(3, e^{3} - 4)$ è un massimo locale

Passaggio 13