Calcolo Esempi

$r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1911 x - 0.13 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $1911$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1911 x$ rispetto a $x$ è $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $1911$ per $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 0.13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.13 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Passaggio 1.4

Riordina i termini.

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 0.39 x^{2} + 1911$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1911]$ .

$r'' (x) = \frac{d}{d x} (- 0.39 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1911)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.39 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 0.39$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.39 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 0.39 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$r'' (x) = - 0.39 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1911)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$r'' (x) = - 0.39 (2 x) + \frac{d}{d x} (1911)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 0.39$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + \frac{d}{d x} (1911)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1911$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1911$ rispetto a $x$ è $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $- 0.78 x$ e $0$ .

$r'' (x) = - 0.78 x$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1911 x - 0.13 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [1911 x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [1911 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $1911$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1911 x$ rispetto a $x$ è $1911 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1911 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1911 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $1911$ per $1$ .

$1911 + \frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 0.13 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 0.13$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 0.13 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$1911 - 0.13 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$1911 - 0.13 (3 x^{2})$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $- 0.13$ .

$1911 - 0.39 x^{2}$

Passaggio 4.1.4

Riordina i termini.

$f' (x) = - 0.39 x^{2} + 1911$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $r (x)$ rispetto a $x$ è $- 0.39 x^{2} + 1911$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 0.39 x^{2} + 1911 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1911$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 0.39 x^{2} = - 1911$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 0.39$ ciascun termine in $- 0.39 x^{2} = - 1911$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 0.39$ ciascun termine in $- 0.39 x^{2} = - 1911$ .

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 0.39$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 0.39 x^{2}}{- 0.39} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1911}{- 0.39}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Dividi $- 1911$ per $- 0.39$ .

$x^{2} = 4900$

Passaggio 5.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{4900}$

Passaggio 5.5

Semplifica $\pm \sqrt{4900}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi $4900$ come $70^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{70^{2}}$

Passaggio 5.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 70$

Passaggio 5.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 70$

Passaggio 5.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 70$

Passaggio 5.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 70, - 70$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 70, - 70$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 70$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 0.78 \cdot 70$

Passaggio 9

Moltiplica $- 0.78$ per $70$ .

$- 54.6$

Passaggio 10

$x = 70$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 70$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 70$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $70$ nell'espressione.

$r (70) = 1911 (70) - 0.13 {(70)}^{3}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $1911$ per $70$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 {(70)}^{3}$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $70$ alla potenza di $3$ .

$r (70) = 133770 - 0.13 \cdot 343000$

Passaggio 11.2.1.3

Moltiplica $- 0.13$ per $343000$ .

$r (70) = 133770 - 44590$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $44590$ da $133770$ .

$r (70) = 89180$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $89180$ .

$y = 89180$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 70$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 0.78 \cdot - 70$

Passaggio 13

Moltiplica $- 0.78$ per $- 70$ .

$54.6$

Passaggio 14

$x = - 70$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 70$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 70$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 70$ nell'espressione.

$r (- 70) = 1911 (- 70) - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Moltiplica $1911$ per $- 70$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 {(- 70)}^{3}$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $- 70$ alla potenza di $3$ .

$r (- 70) = - 133770 - 0.13 \cdot - 343000$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 0.13$ per $- 343000$ .

$r (- 70) = - 133770 + 44590$

Passaggio 15.2.2

Somma $- 133770$ e $44590$ .

$r (- 70) = - 89180$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 89180$ .

$y = - 89180$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $r (x) = 1911 x - 0.13 x^{3}$ .

$(70, 89180)$ è un massimo locale

$(- 70, - 89180)$ è un minimo locale

Passaggio 17